Sabemos que tenemos el TCPMF.

Question

La relatividad General nos dice que el universo es curvada por la gravedad, pero esta curvatura es intrínseco al universo (el universo de las curvas, pero no en una cuarta dimensión espacial, el universo de tener sólo tres doblada dimensiones espaciales).

¿Cómo podemos saber la diferencia entre la curvatura intrínseca de un 3D universo espacial, y la extrínseca de la curvatura de una forma en 3D en un universo 4D?

Obviamente, hay una pregunta similar sobre nuestra curva el espacio-tiempo 4D dentro de una 5D espacio-tiempo.

Answer 1

Como yo lo entiendo, la pregunta parece que se esté preguntando cómo se distingue la curvatura intrínseca de una $d= 3$ colector $\Sigma$ a partir de la curvatura extrínseca de lugar algunos $\Sigma \subset M$ $d=4$ colector $M$.

En geometría diferencial, no es un formalismo, debido a Gauss y Codazzi, que expresa la relación entre la curvatura de una sub-colector y el colector en el que se incrusta. En particular, para algunas $\Sigma \subset M$ uno tiene que,$^\dagger$

$$^{(\Sigma)}R^a_{bcd} = {}^{(M)}R^{a'}_{b'c'd'}h^a_{a'}h^{b'}_bh^{c'}_ch^{d'}_d \pm \sum_{i=1}^{\mathrm{codim}(\Sigma)}{K_i^a}_c K_{ibd} - {K_i^a}_d K_{ibc}$$

donde $h$ es la forma fundamental en $\Sigma$ $K$ es la curvatura extrínseca de $\Sigma$ $i$th normal, de las que hay en número de la misma como la co-dimensión de la $\Sigma$.

Por lo tanto, la curvatura intrínseca de un sub-colector $\Sigma \subset M$ tiene una contribución de la curvatura intrínseca del colector está incrustado en así como de su propia curvatura extrínseca, que es en sí mismo una especie de consecuencia de la incrustación.

Así, las curvaturas están interrelacionados. Si tuviéramos un universo tridimensional, pensamos que de no ser incrustado en todo, entonces no habría contribuciones de $K$ a la curvatura intrínseca del colector.

Re-organización de Gauss-Codazzi ecuación, entonces, uno puede ver que si teníamos un universo tridimensional (o algunos de hyper-superficie) incrustado en una de cuatro dimensiones, entonces la curvatura extrínseca recoge las contribuciones de la curvatura intrínseca de ambos colectores en un sentido.

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$\dagger$ El signo de la ambigüedad, $\pm$, es debido al hecho de que si para un determinado $i$, $i$th normal $n_i$ es el tiempo-como, que es, $n_in^i >0$, a continuación, una resta, y si $n_i n^i < 0$, luego se le agrega la contribución en lugar. Para una de Riemann colector de totalmente positiva firma, que es siempre un signo menos.

Answer 2

@Jamal mostró una buena manera de calcular, y que pueden ser algo entrelazados. Sin embargo, para el cosmológico solución, uno puede ver fácilmente lo que hace que la curvatura, y lo que es curvo. Una buena manera de entenderlo es resolver las ecuaciones de la relatividad general. Si lo haces para d=4, con una de las dimensiones timelike, se obtiene el Robertson Walker métrica, y para el modelado de ecuaciones de estado (que cuenta para la materia, la radiación y si uno introduce la constante cosmológica, la energía oscura) uno obtiene el pleno FLRW solución.

La métrica de la solución se puede escribir como, con k = 0, 1 o -1,

$$ds^2 = dt^2 - a(t)^2[dr^2/(1-kr^2) + d\Sigma^2]$$

con el elemento en paréntesis cuadrados de la métrica de una curvatura constante k espacial de la sección, y el último término es simplemente los componentes angulares

$$d\theta^2 + sin^2(\theta)d\phi^2$$

Usted puede calcular las curvaturas, pero es claro que la distribución espacial de la sección tiene curvatura intrínseca de k, y la espacial rebanadas están creciendo con un lineal factor de escala a(t) en cada dimensión espacial.

El escalar de Ricci R, que es un invariante de la medida de la 4d curvatura depende de k y(t). Ver la referencia de Wikipedia por debajo de la misma dependencia. Este dice que hay una curvatura del espacio-tiempo, y es cierto incluso si k = 0, que da plano espacial rodajas.

Así que sí, el espacio puede ser curvo (cosmológica de datos tiene k =0 hasta dentro de unos pocos por ciento, es decir, plana espacio), pero definitivamente el espacio-tiempo es curvo si a(t) cambios, que sabemos que lo hace.

Ver wiki en https://en.m.wikipedia.org/wiki/Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker_metric

Esta es la curvatura intrínseca, por el espacio-tiempo, y para la distribución rodajas usted puede ver dónde está la contribución, si k no es cero, y que de lo contrario se tiene curvatura cero. El artículo de wiki le da la no-cero términos de la 4d Ricci componentes, y en el hecho de $R_{tt}$ es proporcional a la derivada segunda de a(t). Otros Ricci componentes dependen también de los derivados de(t).

Usted puede hacer todo esto sin invocar ninguna de las otras dimensiones.

Answer 3

Una buena manera de entenderlo es resolver las ecuaciones de la relatividad general. Si lo haces para d=4, con una de las dimensiones timelike, se obtiene el Robertson Walker métrica, y para el modelado de ecuaciones de estado (que cuenta para la materia, la radiación y si uno introduce la constante cosmológica, la energía oscura) uno obtiene el pleno FLRW solución.

La métrica de la solución se puede escribir como, cuando, por simplicidad nos tomamos el espacialmente plana caso favorecido por la cosmológica de datos (y no

$$ds^2 = dt^2 - a(t)^2[dr^2/(1-kr^2) + d\Sigma^2]$$

con el elemento en paréntesis cuadrados de la métrica de una curvatura constante k espacial de la sección, y el último término es simplemente los componentes angulares

$$d\theta^2 + sin^2(\theta)d\phi^2$$

Usted puede calcular las curvaturas, pero es claro que la distribución espacial de la sección tiene la curvatura k, y la espacial rebanadas están creciendo con un lineal factor de escala a(t) en cada dimensión espacial.

El escalar de Ricci R, que es un invariante de la medida de la 4d curvatura depende de k y(t). Ver la referencia de Wikipedia por debajo de la misma dependencia. Este dice que hay una curvatura del espacio-tiempo, y es cierto incluso si k = 0, que da plano espacial rodajas.

Así que sí, el espacio puede ser curvo (cosmológica de datos tiene k =0 hasta dentro de unos pocos por ciento, es decir, plana espacio), pero definitivamente el espacio-tiempo es curvo si a(t)cambios, que sabemos que lo hace.

Todo esto es intrínseca curvaturas, para el espacio-tiempo, y cualquier espacial de los sectores.

Answer 4

La respuesta está en la "ley del cuadrado inversa". Gravedad sigue ley de la inversa del cubo si se estaba usando la 4 ª Dimensión para curvar. Gravedad sólo sabe tres dimensiones. En un universo de 5 dimensiones, gravedad seguiría inversa potencia cuarta de la ley y así sucesivamente.

Como ley cuadrada inversa sigue siendo válido en "escenarios más realistas", indica que hay no más de 3 dimensiones espaciales en el universo.

Por lo tanto cualquier curva tiene que ser intrínseca.