Que $q(n)=11n^2 + 32n$ es un número primo para dos valores de $n$

Question

Que $n$ ser un número entero y mostrar que $q(n)=11n^2 + 32n$ es un número primo para dos valores de $n$ y está compuesto por todos los demás valores enteros de $n$.

Answer 1

Sugerencia: Factor $q(n)$ en 2 polinomios distintos. Si dos polinomios tienen valores de $\pm 1$, entonces sabes que $q(n)$ no puede ser primer. De esta forma, determinar cuáles son los únicos valores de $n$ que posiblemente podría resultar en $q(n)$ ser prime y compruebe los casos.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ Si $\rm\:f(x) = g(x)\:h(x)\:$ es compuesto, entonces tiene sólo un número finito de primos valores ya que tal, requiere $\rm\:g(x) = \pm 1\:$ o $\rm\:h(x) = \pm 1\:.$ Pero $\rm\:f(x)\pm 1 = 0\:$ no tiene más de $\rm\:deg\ f\:$ raíces.

Siguientes son algunos resultados relacionados. En 1918 Stackel publicado los siguientes simple

TEOREMA Si $\rm\:p(x)\:$ es un compuesto entero coeficiente de polinomio a continuación, $\rm\:p(x)\:$ está compuesto por todos los $\rm\:|x| > b\:,\:$ para algunos enlazado $\rm\:b\:,\:$ en realidad $\rm\:p(x)\:$ tiene más de $\rm\:2\:d\:$ prime valores, donde $\rm\: d = deg\ p\:.\:$

La prueba simple puede encontrarse en línea en Mott & Rose, p.8. Recomiendo altamente este delicioso y estimulante 27 página de papel el cual trata de las prime-producción de polinomios y temas relacionados.

Contrapositively, $\rm\:p(x)\:$ es el primer (irreductible) si se supone que el primer valor lo suficientemente grande como $\rm\:|x|\:.\:$ por el Contrario Bouniakowski conjetura (1857) prime $\rm\:p(x)\:$ asumir un número infinito de primos valores (salvo en el caso trivial en el que valores de $\:p\:$ tienen un divisor común, por ejemplo,$\rm\ 2\ |\ x(x+1)+2\:$ ).

E. g. Poli-Szego popularizó R. Cohn irreduciblity de la prueba, que dice que un entero coeficiente polinomio $\rm\:p(x)\:$ es irreducible si $\rm\:p(b)\:$ de los rendimientos de un prime en radix $\rm\:b\:$ de representación, es decir, $\rm\:0 \le p_i < b\:.\:$

E. g. $\rm\:f(x) = x^4 + 6 x^2 + 1\:$ factores $\rm\:(mod\ p)\:$ para todos los números primos $\rm\:p\:,\:$ aún $\rm\:f(x)\:$ es primo ya que tenemos que $\rm\:f(8) = 10601\:$ octal $\rm = 4481\:$ es primo.

Nota: Cohn irreductibilidad de la prueba falla si, en radix $\rm\:b\:,\:$ negativo dígitos, por ejemplo, $\rm\:f(x) = x^3 - 9 x^2 + x-9 = (x-9)\ (x^2 + 1)\:$ pero $\rm\:f(10) = 101\:$ es primo.

Para más información, véase mi 2002-11-12 de la lesión.matemáticas post, y Murty del papel.

Answer 3

Escriba $q(n) = n(11n+32)$. $q(1) = 43$ es primer, y $q(-3) = 3$ es primo. $q(-2), q(-1)$ $q(0)$ no son principales. Pero si % o $n < -3$ $n > 1$, $|n| > 1$ y $|11*n+32| > 1$, $q(n)$ es compuesto.

Answer 4

Sugerencia: Sabemos cómo factor de q, como podemos escribir como $q(n) = n(11n + 32)$. ¿Por lo que n siempre dividirá $q(n)$ - me pregunto qué que nos puede decir?

Debo señalar que si se trata de una pregunta de tarea, usted debe etiquetarlo como tal.