Inducida por $\sigma$-álgebra vs producto $\sigma$-álgebra

Question

Deje $(E,\mathscr E)$ ser un espacio medible y $(S,2^S)$ ser un conjunto finito. Vamos $$\xi:(E,\mathscr E)\a(S,2^S)$$ ser un mesaurable función, es decir, $\xi^{-1}(s)\in \mathscr E$ cualquier $s\in S$. Ahora, vamos a denotar por $\Omega = E^{\mathbb N_0}$ y $\mathscr F$ de su producto $\sigma$-álgebra. También, vamos a $\Sigma = S^{\mathbb N_0}$ y deje $\mathscr S$ ser el corresponsal de producto $\sigma$-álgebra.

Deje $\eta:\Omega\to\Sigma$ a ser el elemento sabio extensión de $\xi$, es decir, $$\eta(\omega_0,\omega_1,\dots) = (\xi(\omega_0),\xi(\omega_1),\dots).$$

Me pregunto si $\mathscr S$ es diferente de $$\mathscr C = \{A\subseteq \Sigma:\eta^{-1}(A)\in \mathscr F\}.$$ Está claro que $\mathscr S\subseteq \mathscr C$ - pero, ¿puede la estrictos de inclusión realidad?

Answer 1

Sí, estrictos de inclusión que puede suceder. Si $S$ tiene más de un elemento, $(\Sigma,\mathscr{S})$ será un incontable compacto espacio métrico con la Borel $\sigma$-álgebra. Por norma argumentos, no va a ser $\mathfrak{c}$ muchos conjuntos medibles, hay muchos conjuntos medibles como los números reales. También, $|\Sigma|=\mathfrak{c}$.

Ahora vamos a $S=\{0,1,2\}$ y deje $\xi$ ser la constante de la función que se asigna a todo a $2$. Hay $2^\mathfrak{c}$ subconjuntos de a $\{0,1\}^\mathbb{N}$. Tomar cualquier subconjunto $A$ $\{0,1\}^\mathbb{N}$ y deje $A'=A\cup\{(2,2,2,\ldots)\}$. Hay $2^\mathfrak{c}$ define de esta forma y desde $\eta^{-1}(A')=\Omega$ para todos ellos, todos ellos están en $\mathscr{C}$.

Así, por razones de cardinalidad, la inclusión será estricta. Tenga en cuenta que $\mathscr{C}$ es el mayor $\sigma$-álgebra en $\Sigma$ que es compatible con $\eta$ ser medibles. No debería de sorprendernos que es bastante grande.