Espectro de filtraciones

Question

Deje $X=\operatorname{Spec}(A)$ ser el espectro de la com. anillo de $A$ y deje $\mathcal{O}$ ser la asociada a la gavilla de los anillos, es decir, para $U \subseteq X$ abierto, $\mathcal{O}(U)$ es el anillo de todas las funciones $s: U \to \prod_{p \in U}A_p$ tal que para todos los $p \in U$ no es un barrio abierto $V \subseteq U$ $p$ e hay $a \in A, f \in A \setminus \bigcup_{q \in V}q$ $s(q) = a/f$ todos los $q \in V$.

Pregunta: ¿Qué es $\operatorname{Spec}\mathcal{O}(U)$ ?

Hay dos casos especiales para $U$ que son fáciles de manejar:

(1) Tenemos $\mathcal{O}(X)=A$ e lo $\operatorname{Spec}\mathcal{O}(U)(X)=X$.

(2) Para un director de abrir subconjunto $D(f),\, \,\mathcal{O}(D(f))=A_f$ e lo $\operatorname{Spec}\mathcal{O}(D(f))=D(f)$.

Por lo tanto supongo que $\operatorname{Spec}\mathcal{O}(U)=U$. He encontrado el mapa $$U \to \operatorname{Spec}\mathcal{O}(U),\, q \mapsto \mathcal{O}(U) \cap \prod_{p \in U} B_p$$ where $B_p: =A_p$ for $p \neq p$ and $B_q := qA_q$. Pero yo no soy capaz de demostrar que es surjective.

Cualquier sugerencia o referencia es de agradecer. Por favor, tenga en cuenta que la cuestión no es la tarea, pero un intento de conseguir una mejor comprensión del anillo de $\mathcal{O}(U)$.

Answer 1

Muy en general, existe una completamente arbitraria esquema de $Y$ canónica de morfismos de los esquemas de $$j:Y\to \operatorname{Spec} \mathcal O(Y)$$ sending the point $y\Y$ to the prime ideal $j(y)\subconjunto \mathcal O(Y)$ consisting of those global functions $f\in \mathcal O(Y)$ vanishing at $s$ [which means that $f_y\en \mathfrak m_y\subconjunto\mathcal O_{Y,y}$ where $\mathfrak m_y$ is the maximal ideal of the local ring $\mathcal O_{Y,y}$].
El punto clave es que el $j$ es un isomorfismo de esquemas si y sólo si $Y$ es afín.

Esto puede aplicarse ahora a su abierta subconjunto $U\subset X=\operatorname{Spec} A$, obteniendo así el morfismos $j:U\to \operatorname{Spec} \mathcal O(U)$.
Este morfismos será un isomorfismo iff $U$ es en sí mismo afín.
En general $j$ es sólo un abrir inmersión: este es el Lema 27.15.4 en De Jong y colaboradores Pilas Proyecto.
Sin embargo $j$ no tienen que ser de surjective: un contraejemplo se obtiene (como se ha mencionado por Bruno en su comentario a la pregunta) tomando la $X=\mathbb A^2_k=\operatorname{Spec}k[T_1,T_2]$$U=\mathbb A^2_k\setminus \{(0,0)\}$.
Tenemos $\mathcal O(U)=k[T_1,T_2]$ $j$ es el abierto de inmersión $$j:U=\mathbb A^2_k\setminus \{(0,0)\}\hookrightarrow \operatorname{Spec} \mathcal O(U)=\operatorname{Spec}k[T_1,T_2]=\mathbb A^2_k$$ whose image misses the origin $\{(0,0)\}$.

Answer 2

Sólo para agregar a la respuesta de George, este mapa

j: Y de $$\to \operatorname{Spec}\mathcal{O}(Y)$$

es universal con respecto a los mapas de espacio afín. Es decir, para cualquier morfismo $\varphi: Y \to \operatorname{Spec}A$, existe un único morfismo $\tilde{\varphi}: \operatorname{Spec}\mathcal{O}(Y) \to \operatorname{Spec}A$ tal que el $\varphi = \tilde{\varphi}\circ j$. Esto sigue del isomorfismo natural $\operatorname{Hom}_{Sch}(X, \operatorname{Spec}A) = \operatorname{Hom}_{CommRing}(A, \mathcal{O}(X))$. Así que en algún sentido $\operatorname{Spec}\mathcal{O}(Y)$ es el esquema más afín a $Y$.