Demostrar que un $1$ -función periódica $\phi$ es constante si $\phi(\frac{x}{2}) \phi(\frac{x+1}{2})$ es un múltiplo constante de $\phi$

Question

Para $0 < x< \infty$ , dejemos que $\phi (x)$ sea positiva y continuamente dos veces diferenciable que satisfaga:

(a) $\phi (x+1) = \phi (x)$

(b) $\phi(\frac{x}{2}) \phi(\frac{x+1}{2}) = d\phi(x),$ donde $d$ es una constante.

Demostrar que $\phi$ es una constante.

Estoy tratando de responder a esto como el primer paso en la demostración de la fórmula de reflexión de Euler. Se me ha dado la pista "Dejemos $g(x) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \log \phi (x)$ y observar que $g(x+1)=g(x)$ y $\frac{1}{4}(g(\frac{x}{2}) + g(\frac{x+1}{2})) = g(x)$ "

En primer lugar, no entiendo cómo consiguen la segunda parte de la pista, y luego incluso suponiendo que todavía no estoy seguro de qué hacer. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Tomando logaritmos en (b), obtenemos la identidad

$$\log \phi\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + \log \phi\biggl(\frac{x+1}{2}\biggr) = \log \phi(x) + \log d.\tag{1}$$

Diferenciando $(1)$ dos veces, que se convierte en

$$\frac{1}{4}\Biggl(g\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + g\biggl(\frac{x+1}{2}\biggr)\Biggr) = g(x).\tag{2}$$

Así que $g$ es una función continua con periodo $1$ que satisface la relación $(2)$ . Por la periodicidad, podemos suponer $g$ se define en todos los $\mathbb{R}.$

Queremos demostrar que $\phi$ es constante, por lo que en particular $g\equiv 0$ . Elija $x_1,x_2 \in [0,1]$ para que

$$g(x_1) = \min \{ g(x) : x\in [0,1]\};\qquad g(x_2) = \max \{ g(x) : x\in [0,1]\}.$$

Desde $g$ es continua y $[0,1]$ es compacto, tales puntos existen. Dado que $g$ tiene periodo $1$ , $g(x_1)$ es también el mínimo global que $g$ alcanza el $\mathbb{R}$ y $g(x_2)$ el máximo global.

Por $(2)$ tenemos

$$g(x_1) = \frac{1}{4}\Biggl(g\biggl(\frac{x_1}{2}\biggr) + g\biggl(\frac{x_1+1}{2}\biggr)\Biggr) \geqslant \frac{1}{4}\bigl(g(x_1) + g(x_1)\bigr) = \frac{1}{2}g(x_1),$$

así que $g(x_1) \geqslant 0$ . El mismo argumento muestra $g(x_2) \leqslant 0$ Por lo tanto $g\equiv 0$ , según se desee.

Por lo tanto, se deduce que

$$\biggl(\frac{d}{dx}\log \phi\biggr)(x) \equiv a = \text{const},$$

y por lo tanto

$$\log \phi(x) = ax+b$$

y $\phi(x) = e^{ax+b}$ para algunas constantes $a,b\in\mathbb{R}$ . Queda por demostrar que $a = 0$ .