¿Cuáles son las unidades de $ \overline{\mathbb{Z}} $ (el anillo de enteros algebraicos)?
¿Sé que todas las raíces de polinomios monic con término constante 1 unidades, pero hay otros?
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Jherico
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Deje $\alpha$ ser un entero algebraico con un mínimo de polinomio $X^n + a_1 X^{n-1} + \dots + a_{n-1}X+ a_n$.
Tenemos que $\alpha^{-1}$ es una raíz de $a_nX^{n} + a_{n-1}X^{n-1}+ \dots a_1 X+ 1 $ y por lo tanto de (cours $a_n$ es distinto de cero por la irreductibilidad de la anterior polinomio) $$X^{n} + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1}+ \dots \frac{a_1}{a_n} X+ \frac{1}{a_n}.$$
Ahora, sólo tenga en cuenta que desde $\alpha$ $\alpha^{-1}$ tienen el mismo grado (sin duda el de generar el mismo campo en los racionales), el polinomio $$ X^{n} + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1}+ \dots \frac{a_1}{a_n} X+ \frac{1}{a_n} $$ es el polinomio mínimo de a $\alpha^{-1}$. Por lo tanto, $\alpha^{-1}$ es integral si y sólo si este polinomio tiene coeficientes enteros. Esto es equivalente a $a_n$ ser invertible, que es $a_n= \pm 1$.
Por lo tanto, $\alpha$ es una unidad en el anillo de enteros algebraicos si y sólo si el coeficiente constante de su polinomio mínimo (más de los enteros) es $+1$ o $-1$.
Si $\alpha \in \overline{\mathbb{Z}}$ $($esta es una muy mala abuso de notación$)$, $1/\alpha$ es una raíz de un monic polinomio si y solo si el polinomio mínimo de a $\alpha$ tiene término constante $\pm 1$. Esto es debido a que $1/\alpha$'s mínimo polinomio debe ser $\alpha$'s mínimo polinomio con coeficientes invierte $($obviamente $1/\alpha$ es una raíz de esto, además no es difícil comprobar este polinomio es irreducible$)$.
Otra forma de hacer que este problema se acuestan todas las raíces de $\alpha$'s mínimo polinomio de a $\mathbb{Q}$ y, a continuación, utilizar las normas para deducir el resultado al instante, si mi conocimiento de la teoría de Galois es que no falta.
