Cómo probar esto $\left(\sqrt{a^2+b^4}-a\right)\left(\sqrt{b^2+a^4}-b\right)\le a^2b^2$

Question

Deje $a,b\in R$ y tal que $$\left(\sqrt{a^2+b^4}-a\right)\left(\sqrt{b^2+a^4}-b\right)\le a^2b^2$$

demuestre que $$a+b\ge 0$$

Creo que este es un problema muy hermoso, ¿tienes buenos métodos? Thank you,

He visto este problema $$\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$$ entonces tenemos $$x+y=0$$

Este problema tiene algunos métodos agradables, deje $f(x)=\ln\left({x+\sqrt{x^2+1}}\right)$ entonces $f(x)$ es creciente y es impar funciotion, y $$\ln\left({y+\sqrt{y^2+1}}\right)=-\ln{-y+\sqrt{y^2+1}}=-f(-y)$$ así que $$f(x)+f(-y)=0\Longrightarrow f(x)=f(-y)$$ entonces $x+y=0$

y he visto este problema $$\left(x+\sqrt{y^2+1}\right)\left(y+\sqrt{x^2+1}\right)=1$$ entonces tenemos $$x+y=0$$ solución: dejar que $$x=\dfrac{1}{2}\left(u-\dfrac{1}{u}\right),y=\dfrac{1}{2}\left(v-\dfrac{1}{v}\right)$$

entonces tenemos $$\dfrac{(uv-1)((u+v)^2uv+(u-v)^2)}{u^2v^2}=0$$

desde $$(u+v)^2uv+(u-v)^2\ge 0$$ así que $$uv=1$$ entonces $$x+y=\dfrac{1}{2}\left(u+v-\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v}\right)=0$$

Answer 1

Paso 1: Multiplicar por el conjugado, obtenemos que

$$ b^4 a^4 \leq a^2 b^2 ( \sqrt{a^2 + b^4} +a ) ( \sqrt{ b^2 + a^4} + b), $$ $$ a^2 b^2 \leq ( \sqrt{a^2 + b^4} +a ) ( \sqrt{ b^2 + a^4} + b)$$ .

Esto nos da la cadena de desigualdades

$$ ( \sqrt{a^2 + b^4} -a ) ( \sqrt{ b^2 + a^4} - b) \leq a^2 b^2 \leq ( \sqrt{a^2 + b^4} +a ) ( \sqrt{ b^2 + a^4} + b)$$

Si tomamos los extremos, obtenemos $0 \leq a \sqrt{b^2 + a^4} + b \sqrt{a^2 + b^4} $ .

Paso 2: Considerar los casos

Si $a, b <0$ entonces los términos en el LHS son claramente mayores que $b^2 \times a^2$ por lo que la desigualdad no es cierta.

Si $a,b \geq 0$ es evidente que $a+b \geq 0.$

Por lo tanto, podemos suponer que $ a \leq 0 \leq b$ y queremos demostrar que $ -a \leq b$ . Ahora, como estamos acostumbrados a tratar con reales positivos (no negativos), permítanme sustituir $a$ con $-a$ (no es necesario, pero simplifica las consideraciones posteriores)

Paso 3: Con esta sustitución, la desigualdad del paso 1 nos da

$$ a\sqrt{b^2 + a^4} \leq b \sqrt{a^2 + b^4}$$

Como el LHS es no negativo, podemos elevarlo al cuadrado para obtener

$$a^2 (b^2 + a^4) \leq b^2 (a^2 + b^4 \Rightarrow a^6 \leq b^6 \Rightarrow a \leq b.$$

Pero esto es lo que queremos mostrar en el Paso 2, por lo tanto hemos terminado. (recuerda que hemos sustituido $a$ para $-a$ .)

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El paso 1 le ofrece otra forma de demostrar su caso de igualdad. A saber, obtenemos que

$$ 0 = y \sqrt{x^2+1} + x \sqrt{y^2+1} $$

Por lo tanto, tenemos $ - y \sqrt{x^2 + 1} = x \sqrt{y^2+1} \Rightarrow y^2(x^2+1)=x^2(y^2+1) \Rightarrow y^2=x^2$ . A continuación, compruebe que $y=x$ no es una solución válida (a menos que $y=x=0$ ), por lo que debemos tener $y=-x$ .

Esto parece mucho más directo que tu planteamiento, y está motivado por la consideración de los conjugados.

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La desigualdad del paso 1 también se puede obtener directamente, expandiendo y mostrando que

$$ 0 \leq \sqrt{a^2+b^4} \sqrt{b^2+a^4} + ab - a^2b^2 \leq a \sqrt{b^2 + a^4} + b \sqrt{a^2 + b^4}$$

Sin embargo, esto no se deduce inmediatamente de la pregunta. Es más bien "a posteriori".

Me interesaría ver cómo se puede obtener el caso de igualdad mediante expansión directa. (Todavía no veo cómo hacerlo).