Si fuera el mismo argumento, tendría que obtener el volumen de nuevo. :)
En serio, a pesar de que: "Cada segmento es de aproximadamente un cilindro" es la declaración crítica: no es sólo aproximadamente un cilindro, pero la diferencia de volumen entre un verdadero cilindro de ese tamaño y la aproximación de uno va abajo de forma lineal como $\delta$ se hace más pequeño. Sí, su cálculo libro debería haber mencionado eso, pero ellos no. Suspiro. [Para ser más precisos: la relación de la aproximación y de la verdadera volúmenes de cabezas a 1 $\delta \to 0$.] (Ver más abajo para la corrección.)
Para el área de la superficie, la relación de la verdadera área a la aproximación de área es, en el límite, la relación de la hipotenusa de un triángulo a una de las bases: la primera base es $\delta$, el segundo es $\delta f'(x)$, y la hipotenusa, por tanto, tiene una longitud de $\delta \sqrt{1 + f'(x)^2}$. La relación de este a la base que se utiliza es $\sqrt{1 + f'(x)^2}$, y se mantiene en este valor como $\delta \to 0$.
Así que esa es la diferencia.
No he probado que si la relación va a 1, a continuación, los cálculos son los mismos -- que había requieren de un cuidadoso trabajo a través de la definición de la integral de Riemann, y algunas sutilezas acerca de cambiar el orden de los límites. Pero yo quería darle una respuesta que al menos apunta en la dirección correcta.
Cuando se le preguntó acerca de mi afirmación acerca de las proporciones, me di cuenta de que, al tratar de decir las cosas, simplemente, me había sobrepasado: el problema es que cuando la función de $f$ pasa a ser cero en algún punto, la relación podría incluso no ser definido. Así que permítanme supongamos que $f$ es distinto de cero en todas partes, y discutir brevemente el caso restante al final.
Quiero mostrar que como $\delta \to 0$, la relación de volumen va a $1$. Déjenme decir que de manera diferente: para cualquier número positivo $A$, te voy a mostrar que si $\delta$ es lo suficientemente pequeño, entonces la relación de volumen entre $1-A$$1 + A$. OK? Para ello, voy a limitar mi atención a los valores de $0 < A < 1/2$, porque si puedo hacer que la relación de volumen se sitúan entre 1-(1/2) y 1 + (1/2), que sin duda puede hacer que sea mentira entre $1 - (1000)$$1 + (1000)$, etc.
Desde $f$ es diferenciable (o la fórmula del área no tiene sentido), sabemos $f$ es continua. Ahora echemos un vistazo a algunos intervalo de $[x_1, x_2]$, y el punto de $x$ en ese intervalo y comparar
$$
V_1 = \pi f(x)^2 \delta
$$
con $V_2$, el volumen de la porción del sólido entre el$x_1 $$x_2$. Para guardar la escritura, vamos a escribir $\delta = x_2 - x_1$. En el intervalo de $[x_1, x_2$, $f$ tiene un valor mínimo $m$ (mayor que cero, debido a que $f$ es continua y en todas partes positivo) y un valor máximo $M$. Eso significa que el cilindro de radio $m$ está contenida dentro de la porción del sólido, y el cilindro de radio $M$ contiene la porción del sólido. Por lo $V_2$ entre $\pi m^2 \delta$$\pi M^2 \delta$. Eso significa que la proporción de $V_1$ $V_2$es entre
$$
\left(\frac{f(x)}{m}\right)^2
$$
y
$$
\left(\frac{f(x)}{M}\right)^2
$$
Ahora ya $A < 1/2$, los números de $\sqrt{1 + A} > 1$ $\sqrt{1 - A}<1$ tanto sentido. Por lo que podemos calcular
$$
U = \frac{f(x)}{\sqrt{1}} > f(x) \text{ y} \\
L = \frac{f(x)}{\sqrt{1+ A}} < f(x),
$$
un par de números un poco por encima y por debajo de $f(x)$.
Mediante la selección de $x_1$ $x_2$ lo suficientemente cerca de a $x$, podemos asegurar que en el intervalo de $[x_1, x_2]$, la función de $f$ se encuentra entre $L$$U$. (La prueba es que $f$ es continuo, de modo que al reducir el intervalo que contiene a $x$, usted puede hacer que su imagen se ajuste en cualquier intervalo abierto, tales como $(L, U)$, contiaining $f(x)$.)
Con eso listo, el resto es un cálculo: la relación de volumen entre
$$
\left(\frac{f(x)}{m}\right)^2
$$
y
$$
\left(\frac{f(x)}{M}\right)^2
$$
(Tenga en cuenta que el primero de estos es MAYOR que el segundo!) Debido a $m$ al menos $L$, tenemos que
$$
\left(\frac{f(x)}{m}\right)^2 <
\left(\frac{f(x)}{L}\right)^2 <
\left(\frac{f(x)} {\frac{f(x)}{\sqrt{1+ A}}}\right)^2 =
\left( \sqrt{1+A}\right)^2 =
1 + A.
$$
Un argumento similar muestra que la proporción es mayor que $1 - A$.
Cuando tenemos un punto donde $f(x) = 0$, las cosas se ponen realmente complicado y que necesita para empezar a hacer argumentos con "min" en ellos, y no creo que se agrega, de la iluminación, así que me voy a saltar.
Usted lo pidió como última pregunta "qué tipo de aproximaciones son válidas y cuáles no?" La respuesta es "Las aproximaciones son válidas en su totalidad (cualquier número es una aproximación de cualquier otro número!), pero sólo son útiles si, al empujar los límites a través de la definición de la integral, las cosas funcionan". Sé que suena como una pésima respuesta, pero yo podría decirlo de otra manera: para saber si puede hacer una aproximación dentro de una integral y tomar límites, usted necesita para realmente entender la definición de la integración". Que no parece como un injusto solicitud. Me gustaría tener una varita mágica para usted, pero yo no.
