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Ejemplos de anillos booleanos infinitos

Estoy intentando hacer una lista de ejemplos de anillos booleanos infinitos y necesito una aclaración.

En primer lugar, ¿es posible tomar un producto directo infinito de los enteros mod 22 para obtener un anillo booleano? (es decir, ¿es Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z× un anillo booleano infinito)

El único otro ejemplo de anillo booleano infinito que se me ocurre es el anillo P(X) El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto X, cuya suma se define como diferencia simétrica y cuya multiplicación se define como intersección.

¿Cuáles son otros ejemplos de anillos booleanos infinitos?

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Sí, el producto directo infinito es un anillo booleano. Había pensado que había un teorema de estructura muy fuerte para los anillos booleanos

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Hay muchos ejemplos en Wikipedia .

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La respuesta a la primera pregunta es sí, cualquier producto directo (finito o infinito) de anillos booleanos es un anillo booleano. Esto se debe a que la clase de todos los anillos booleanos es una instancia de lo que se llama un clase ecuestre o un variedad es decir, la clase de estructuras algebraicas que satisfacen un determinado conjunto de identidades. El ejemplo que mencionas es isomorfo al conjunto de potencias de Z .

Un anillo booleano no tiene por qué ser un conjunto de potencias, pero todo anillo booleano es isomorfo a un subring de un conjunto de potencias (teorema de la representación de Stone). Para ver más ejemplos, empecemos con el anillo de todos los subconjuntos de la recta real, y consideremos el sub-anillo formado por los (a) conjuntos finitos, (b) conjuntos que son finitos o cofinitos, (c) conjuntos contables, (d) conjuntos de Borel, (e) conjuntos medibles de Lebesgue. O consideremos el anillo de todos los conjuntos clopen (cerrados y abiertos) de cualquier espacio topológico, por ejemplo el conjunto de Cantor.

P.D. Los ejemplos (a) y (c) son anillos booleanos pero no álgebras booleanas. Al carecer de un elemento de identidad, permiten la complementación relativa pero no la absoluta. Algunas personas no los considerarían anillos booleanos.

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Gracias. No conocía el teorema de representación de Stone, que es realmente útil.

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Berci Puntos 42654

Toda ecuación axiomatizadora se conserva mediante las operaciones de producto directo, subálgebra y álgebra cotizada. También se puede ver directamente, que cada elemento de Z2N es idempotente.

Todos los anillos booleanos definen un álgebra booleana, por lo que surgen como un subring de P(X) (con diferencia simétrica e intersección).

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Osman Hamza Puntos 9

Dejemos que X sea un conjunto cualquiera y P(X) es su conjunto de potencia. En P(X) definir por AB=(AB)(BA)

por cada A,BX . Entonces (P(X),,) es un anillo booleano.

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