La respuesta a la primera pregunta es sí, cualquier producto directo (finito o infinito) de anillos booleanos es un anillo booleano. Esto se debe a que la clase de todos los anillos booleanos es una instancia de lo que se llama un clase ecuestre o un variedad es decir, la clase de estructuras algebraicas que satisfacen un determinado conjunto de identidades. El ejemplo que mencionas es isomorfo al conjunto de potencias de Z .
Un anillo booleano no tiene por qué ser un conjunto de potencias, pero todo anillo booleano es isomorfo a un subring de un conjunto de potencias (teorema de la representación de Stone). Para ver más ejemplos, empecemos con el anillo de todos los subconjuntos de la recta real, y consideremos el sub-anillo formado por los (a) conjuntos finitos, (b) conjuntos que son finitos o cofinitos, (c) conjuntos contables, (d) conjuntos de Borel, (e) conjuntos medibles de Lebesgue. O consideremos el anillo de todos los conjuntos clopen (cerrados y abiertos) de cualquier espacio topológico, por ejemplo el conjunto de Cantor.
P.D. Los ejemplos (a) y (c) son anillos booleanos pero no álgebras booleanas. Al carecer de un elemento de identidad, permiten la complementación relativa pero no la absoluta. Algunas personas no los considerarían anillos booleanos.
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Sí, el producto directo infinito es un anillo booleano. Había pensado que había un teorema de estructura muy fuerte para los anillos booleanos
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Hay muchos ejemplos en Wikipedia .