Ejemplos de anillos booleanos infinitos

Question

Estoy intentando hacer una lista de ejemplos de anillos booleanos infinitos y necesito una aclaración.

En primer lugar, ¿es posible tomar un producto directo infinito de los enteros mod $2$ para obtener un anillo booleano? (es decir, ¿es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\cdots$ un anillo booleano infinito)

El único otro ejemplo de anillo booleano infinito que se me ocurre es el anillo $\mathcal{P}(X)$ El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto X, cuya suma se define como diferencia simétrica y cuya multiplicación se define como intersección.

¿Cuáles son otros ejemplos de anillos booleanos infinitos?

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es sí, cualquier producto directo (finito o infinito) de anillos booleanos es un anillo booleano. Esto se debe a que la clase de todos los anillos booleanos es una instancia de lo que se llama un clase ecuestre o un variedad es decir, la clase de estructuras algebraicas que satisfacen un determinado conjunto de identidades. El ejemplo que mencionas es isomorfo al conjunto de potencias de $\mathbb Z$ .

Un anillo booleano no tiene por qué ser un conjunto de potencias, pero todo anillo booleano es isomorfo a un subring de un conjunto de potencias (teorema de la representación de Stone). Para ver más ejemplos, empecemos con el anillo de todos los subconjuntos de la recta real, y consideremos el sub-anillo formado por los (a) conjuntos finitos, (b) conjuntos que son finitos o cofinitos, (c) conjuntos contables, (d) conjuntos de Borel, (e) conjuntos medibles de Lebesgue. O consideremos el anillo de todos los conjuntos clopen (cerrados y abiertos) de cualquier espacio topológico, por ejemplo el conjunto de Cantor.

P.D. Los ejemplos (a) y (c) son anillos booleanos pero no álgebras booleanas. Al carecer de un elemento de identidad, permiten la complementación relativa pero no la absoluta. Algunas personas no los considerarían anillos booleanos.

Answer 2

Toda ecuación axiomatizadora se conserva mediante las operaciones de producto directo, subálgebra y álgebra cotizada. También se puede ver directamente, que cada elemento de ${\Bbb Z_2}^{\Bbb N}$ es idempotente.

Todos los anillos booleanos definen un álgebra booleana, por lo que surgen como un subring de $P(X)$ (con diferencia simétrica e intersección).

Answer 3

Dejemos que $X$ sea un conjunto cualquiera y $P(X)$ es su conjunto de potencia. En $P(X)$ definir $\triangle$ por $$A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A) $$

por cada $A,B \subset X$ . Entonces $(P(X),\triangle ,\cap)$ es un anillo booleano.