Imagen inversa de Veronese como mapa

Question

La siguiente es una muy elemental pregunta, pero no puedo encontrar el error:

Denotar $D$ la diagonal $\{[x_0:x_1],[x_0:x_1]\} \subset \mathbb P^1$x $\mathbb P^1$. Deje $\phi: \mathbb P^1 \longrightarrow \mathbb P^2$ definido por $\phi([t_0:t_1])=(t_0^2:2t_0 t_1:t_1^2)$ y sea P su imagen. Similar a la Veronese mapa, este es un isomorfismo y tenemos $P = \{[u_0: u_1: u_2] | u_0 u_2 = \frac {u_1^2} 4\}.$

Deje $i$ ser el natural isomorfismo $\mathbb P^1 \longrightarrow D \subset\mathbb P^2$.

Deje $\psi:\mathbb P^1$ x $\mathbb P^1 \longrightarrow \mathbb P^2$ ser definido por $\psi([x_0:x_1],[y_0:y_1])= [x_0 y_0: x_0 y_1 + x_1 y_0 : x_1 y_1]$. Uno ve que $\psi(D) = P$.

Tenemos $\psi \big |_{D}=\psi \big |_{im(i)}$ es un isomorfismo a $P$, debido a $\phi$ es e $\psi \circ i = \phi$ (y es fácil escribir la inversa de morfismos explícitamente).

Pero si tengo que calcular manualmente llego $\psi^{-1}(P) = V((x_0 y_1 - x_1 y_0)^2) \subset \mathbb P^1$x $\mathbb P^1$, que es 2 veces la Diagonal $D$ (que debe ser cierto, porque tenemos una correspondencia entre biquadratic curvas en $\mathbb P^1$x $\mathbb P^1$ y quadrics en $\mathbb P^2$). Pero esto contradice $\psi \big |_{D}$ ser un isomorfismo (y éste a su vez es utilizado por un autor para demostrar que s.th., así que de alguna manera esperamos que no sea demasiado lejos de la verdad / hay una manera de arreglar su argumento, pero eso es otra historia).

Answer 1

Todo lo que usted escribe es correcta y que no hay contradicción!
Una analogía puede ayudar a:

Considerar los morfismos $ f: \mathbb C\to \mathbb C:z\mapsto z^2$.
Se induce un isomorfismo $\lbrace 0 \rbrace \to \lbrace 0 \rbrace$ pero, sin embargo, el esquema de la teoría de la inversa de la imagen $f^{-1}(\lbrace 0 \rbrace )$ es el doble de ${\lbrace 0 \rbrace}$, ya que se tiene la ecuación de $z^2=0$.
De forma análoga, en su caso, la inversa de la imagen en $\psi$ del ciclo (en realidad es un divisor) $P$ $\mathbb P^2$ es el ciclo (o divisor) $2D$ $\mathbb P^1$x $\mathbb P^1$.
Y esto es perfectamente compatible con $\psi|D:D\to P$ ser un isomorfismo : el punto es distinguir cuidadosamente el ciclo de $\psi^{-1}(P)$ $\mathbb P^2$ a partir de la imagen $(\psi|D)^{-1}(P)=D$ de la isomorfismo de esquemas $(\psi|D)^{-1}:P\to D$.

Estas consideraciones sobre los ciclos son básicos en la intersección de la teoría: se puede consultar el primer capítulo de Fulton Intersección Thory, el estándar de referencia sobre el tema.