Transformada de Fourier del gradiente

Question

Encontré en un libro de física la transformada de Fourier $F$ del gradiente de una función $g$ suave con soporte compacto en $\mathbb R^3$ . Hasta algunas constantes multiplicativas:

$F(\nabla g)(k)=k.F(g)(k) $

El libro afirma que esto se demuestra por integración por partes, de nuevo hasta algunas constantes multiplicativas:

$\int exp(-ik.x).\nabla g(x)dx= k\int exp(-ik.x).g(x)dx$

Entiendo la lógica, pero no le encuentro sentido a una expresión como $\int_{\mathbb R^3} \nabla g(x)dx$ y no puedo ver cómo se mantiene la igualdad anterior. He intentado relacionar esto con el teorema de la divergencia pero sin suerte, porque $\nabla g(x)$ es un vector después de todo.

¿Cuál es la definición de la expresión $\int_{\mathbb R^3} \nabla g(x)dx$ ¿y por qué es cierta la igualdad anterior?

Answer 1

Es una práctica común interpretar la integral de un vector como el vector de integrales de coordenadas. Esta receta tiene en realidad un nombre cuando los vectores provienen de espacios de dimensión infinita: la integral de Bochner. En pocas palabras, dejemos que $f : X \rightarrow V$ sea un mapa "medible" de un espacio de medidas $(X,\mu)$ a algún espacio vectorial topológico $V$ (en aplicaciones $V$ se supone Banach o Frechet).

Entonces tienes que escribir algún teorema que dé sentido a $\int_X f(x) d \mu(x)$ para $f$ no negativo. Esto se suele plantear de la siguiente manera: existe un único elemento $\int_X f(x) d\mu(x)$ de $V$ tal que para cada $l \in V^*$ , $$ l\left(\int_X f(x) d\mu(x) \right) = \int_X (l \circ f)(x) d \mu(x) $$ Esta integral es aditiva, homotética y obedece a la convergencia dominada y a muchos otros resultados clásicos. Por cierto, la definición que doy aquí funciona perfectamente para espacios vectoriales de dimensión finita.

Piensa en lo anterior como una generalización de la "integral por coordenadas".

Answer 2

La integral se interpreta por coordenadas; $$\left(\int \mathbf v\right)_j =\int v_j$$

Ahora mirando el resultado dado, tienes $$\int f(k,x) \nabla_j g(x) = \int \nabla_j (fg)-g\nabla_j f$$ Aplicando el teorema de la divergencia al primer término (es una divergencia de $fg \mathbf n$ para un $\mathbf n$ ) hace que desaparezca.