¿Importa si utiliza % grande $L$o poco $l$ cuando se habla de $L$-normas?

Question

Estaba leyendo un post en Quora con respecto a la aplicación de "$l_1$", "$l_2$" normas para convexa de programación lineal cuando yo estaba muy confundido en que $L$-norma los carteles están refiriendo realmente.

Estoy acostumbrado a hacer una distinción entre el $l^p$ $L^p$ espacios y para mí es conveniente y lógico decir (siguiendo la convención de $l^p$ $L^p$ espacios) que:

• poco $l$, $l_p$-la norma se refiere a los $\|x\|_p = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i^p|^\frac{1}{p}$, y

• grande $L$, $L_p$ se refiere a $\|f(x)\|_p = (\int\limits_{\mathbb{X}} |f(x)^p|dx)^\frac{1}{p} $

A mí me hace una enorme diferencia de que la L-norma al que se refiere. Pero en Quora y así como en el mse (y otro ejemplo aquí en la física.se) veo a la gente "aparentemente" la mezcla de la poca $l$ y grandes $L$ normas con frecuencia hasta el punto de que no tengo idea de cual $L$norma de personas se refiere. Por ejemplo, puedo decir que "un sistema es BIBO estable si la L1 norma es limitada". El que la L-norma crees que me refiero a si que no tenía idea de lo que la estabilidad BIBO es?

Pero, ¿esto realmente hacen tan grande la diferencia? Desde la intuición de las normas (energía, estabilidad, etc.) se conserva independientemente de la dimensión. ¿Cuáles son algunas de las razones por la diferencia entre las dos normas que debe o no debe ser forzada?

Answer 1

El $L_p$ norma es más general, pero usted necesita para especificar una medida de espacio para darle sentido. Usted está integrando más de $\mathbb X$, después de todo!

El $l_p$ norma puede ser visto como un caso particular de la anterior, como @Stephen Montgomery-Smith señaló que, con el recuento de medir en números enteros positivos.

Así que no creo que realmente no hay ninguna fuente de ambigüedad: o yo especifique que medir el espacio que estoy en y, a continuación, claramente estoy hablando de $L_p$ en que medida el espacio, o yo no (y esto por lo general significa que es claro que en el contexto a lo que me refiero).