¿Es cada subspace del espacio métrico de espacio métrico conectado?

Question

Si el espacio sí mismo está conectado entonces hemos terminado, pero si no entonces creo que podemos ampliar nuestro espacio métrico para que sea conectado. No sé si esto funcionará o no, pero intuitivamente creo que la respuesta es sí.

Answer 1

Si sólo queremos $(X,d)$ a cualquier subespacio de un mayor conectados espacio, entonces seguro: no necesitamos ni métrica entonces, sólo Tychonoff: cada espacio de Tychonoff incrusta en un (conectado) espacio de $[0,1]^I$ algunas $I$.

Si queremos $X$ a ser denso en las grandes conectado espacio de $Y$, $Y$ se llama connectification. En ese caso, hay ejemplos de métricas espacios sin una métrica connectification (véase la enciclopedia de la topología general, el capítulo sobre connectifications), para las referencias y algunos resultados positivos así.

Answer 2

De hecho, cada espacio métrico admite un canónica isométrica integración en un contráctiles de espacio métrico, de la siguiente manera. Si $X$ es un espacio métrico, vamos a $\hat{X}$ denotar el espacio de la debilidad de las contracciones $X \to \mathbb{R}_{\ge 0}$, donde una débil contracción $X \to Y$ entre dos espacios métricos es un mapa de $f : X \to Y$ tal que $d_Y(f(x_0), f(x_1)) \le d_X(x_0, x_1)$. Este espacio es un espacio métrico cuando está equipado con el sup norma

$$d_{\hat{X}}(f, g) = \sup_{x \in X} |f(x) - g(x)|.$$

Hay una canónica de la incrustación

$$X \ni x \mapsto (y \mapsto d(x, y)) \in \hat{X}$$

que uno puede comprobar de forma directa es una isometría. Esto es una pequeña variante de la Yoneda la incrustación de las métricas de los espacios considerados como enriquecido categorías.

Answer 3

Uso de Kuratowski incrustación para incrustar su espacio métrico isométrica en un espacio de Banach.