El siguiente es el ejercicio 4.1 de Hartshorne Teoría de la deformación utilizado en la demostración dada allí de la suficiencia del criterio de elevación infinitesimal de la suavidad:
Dejemos que $(A,m)$ sea un local $k$ -con campo de residuos $k = A/m$ . Sea $f : A \rightarrow A$ ser un $k$ -homomorfismo de álgebra que induce un isomorfismo $A/m^2 \rightarrow A/m^2$ . Demostrar que $f$ es a su vez un isomorfismo.
Ciertamente es necesario que haya una hipótesis de finitud, hasta ahora sólo necesito $m$ está finitamente generada, pero estoy dispuesto a suponer incluso que es noetheriana.
Puedo demostrar que es sobreyectiva: Sea $x_1, \dots, x_n$ sean generadores de $m$ , entonces obtenemos un mapa suryectivo $m/m^2 \rightarrow m/m^2$ y así $\langle f(x_1), \dots, f(x_n)\rangle$ generar (por abuso de notación) $m/m^2$ como $k$ -módulo. Entonces $$m = m^2 + \langle f(x_1), \dots, f(x_n) \rangle$$ y así por el lema de Nakayama obtenemos que $f$ se proyecta sobre $m$ y por lo tanto todo $A$ .
Editar: A petición de abajo, voy a mostrar que $f : m \rightarrow m$ es suryente implica que $f : A \rightarrow A$ es sobreyectiva. Basta con demostrar que para cualquier unidad $u \in A$ existe un elemento de $A$ que se asigna a $u$ . Considere $\bar{u} \in A/m = k$ . Desde $k \rightarrow A \rightarrow A/m$ es un isomorfismo, existe $\lambda' \in A$ que se asigna a $\bar{u}$ . Entonces $u = f(\lambda') + b$ para algunos $b \in m$ . Dejar $f(a) = b$ tenemos $f(\lambda' + a) = u$ según sea necesario.
Para la inyectividad, ciertamente tenemos $\mathrm{ker} f \subset m^2$ . ¿Pero cómo se demuestra que es cero? Tal vez podamos utilizar de nuevo a Nakayama: basta con demostrar que $m \cdot \mathrm{ker} f = \mathrm{ker} f$ pero no he podido hacer que esto funcione.
Estoy casi seguro de que me falta algo fácil.
