Limita las funciones medibles [0,1] ^ 2

Question

Supongamos que $f(x,y),g(x,y)$ son dos funciones $[0,1]^2$ que son acotados y medibles, tales que: $$ \int_0^1 f(x,u)g(y,u) du \leq 1 $ $ casi todos $(x,y) \in [0,1]^2$. Mostrar que $$\int_0^1 f(x,u)g(x,u) du \leq 1 $ $ aplica para casi todos $x \in [0,1]$.

Al parecer es una manera de resolver esta cuestión con martingalas en vez de análisis convencional. Pero después de probar durante varias horas parece que no puedo referirme a esta cuestión. Si puedo tener algún tipo de idea general o Consejo que me ayude en el camino correcto que se agradecería más.

Answer 1

Por hipótesis para fijo x tenemos

$\int_{B_{r}(x)}\int_{0}^{1}f(x,u)g(y,u)dudy\leq \int_{B_{r}(x)}1dy=|B_{r}(x)|\Rightarrow $

$\int_{B_{r}(x)} \int_{0}^{1}\frac{f(x,u)}{|B_{r}(x)|}g(y,u)dudy\leq 1$

Así, por Fubini

$\int_{0}^{1}\frac{f(x,u)}{|B_{r}(x)|}\int_{B_{r}(x)}g(y,u)dudy\leq 1$

Entonces por Teorema de diferenciación DCT y Lebesgue obtenemos

$\int_{0}^{1}f(x,u)lim_{r\to 0}\frac{}{|B_{r}(x)|}\int_{B_{r}(x)}g(y,u)dydu\leq 1\Rightarrow$

$\int_{0}^{1}f(x,u) g(x,u)du\leq 1.$

Sin embargo, creo que la asunción debe ser acotada a.e., pues entonces no podemos aplicar DCT y así que es necesario el análisis de la martingala.