¿La prueba de que $Γ'(1) = -γ$?

Question

Sé que $Γ'(1) = -γ$, pero ¿cómo uno probar esto? A partir de lo básico, tenemos:

$$Γ(x) = \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} dt$$

¿Cómo diferenciamos a esto? Cómo entonces encontramos

$$Γ'(1) = \int_0^\infty e^{-t} \log(t) dt$$

¿y uno cómo resolver esta integral?

Answer 1

Tomado de esta respuesta:

Por la relación recursiva $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, obtenemos $$\pequeño{\log(\Gamma(x))=\log(\Gamma(n+x))-\log(x)-\log(x+1)-\log(x+2)-\dots-\log(x+n-1)}\etiqueta{1}$$ La diferenciación $(1)$ con respecto al $x$, evaluando en $x=1$, y dejando $n\to\infty$ rendimientos $$\begin{align} \frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}&=\log(n)+O\left(\frac1n\right)-\frac11-\frac12-\frac13-\dots-\frac1n\\ &\to-\gamma\tag{2} \end{align}$$ Una discusión de por qué la $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log(\Gamma(x))=\log(x)+O\left(\frac1x\right)$, y una prueba de log-convexidad de $\Gamma(x)$, se da en la respuesta antes citada. Es fácil aceptar que desde $\log(\Gamma(n+1))=\log(\Gamma(n))+\log(n)$.

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Otro Enfoque $$\begin{align} \int_0^\infty\log(t)\,e^{-t}\,\mathrm{d}t &=\lim_{n\to\infty}\int_0^n\log(t)\,\left(1-\frac{t}{n}\right)^n\,\mathrm{d}t\tag{3a}\\ &=\lim_{n\to\infty}n\int_0^1(\log(t)+\log(n))\,(1-t)^n\,\mathrm{d}t\tag{3b}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\log(n)+n\int_0^1\log(1-t)\,t^n\,\mathrm{d}t\right)\tag{3c}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\log(n)-\frac{n}{n+1}H_{n+1}\right)\tag{3d}\\[6pt] &=-\gamma\tag{3e} \end{align}$$ Explicación:
$\text{(3a)}$: Monotonía y Convergencia $e^{-t}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac tn\right)^n$
$\text{(3b)}$: sustituto $t\mapsto nt$
$\text{(3c)}$: sustituto $t\mapsto1-t$
$\text{(3d)}$: integrar por partes $\int_0^1\log(1-t)\,t^n\,\mathrm{d}t=-\frac1{n+1}\int_0^1\frac{1-t^{n+1}}{1-t}\,\mathrm{d}t$
$\text{(3e)}$: $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}H_n-\log(n)$

Answer 2

Creo que usted también puede usar los siguientes:

$\Gamma$ también puede ser expresado como

$$\Gamma(z) = \frac{\exp{(-\gamma z)}}{z}\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{\exp \left({\frac z n}\right)}{1+\dfrac z n }$$

Así que

$$\log \Gamma(z)=-\gamma z-\log z+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{z}{n}- \sum\limits_{n=1}^\infty\log \left(1+\frac z n \right)$$

Ahora no voy a la dirección de convergencia de ahora (que puedes consultar en Landau del Cálculo, en el capítulo dedicado a la función Gamma), pero la diferenciación de da

$$\frac{\Gamma '(z)}{\Gamma(z)}=-\gamma-\frac 1 z+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac 1 n-\frac{1}{n+z}\right)$$

$$\frac{\Gamma '(z)}{\Gamma(z)}=-\gamma-\frac 1 z+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{z}{n(n+z)}$$

Dejando $z=1$ le da:

$$\frac{\Gamma '(1)}{\Gamma(1)}=\Gamma'(1)=-\gamma-1 +\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}$$

Pero sabemos que

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=1$$

así que

$$\frac{\Gamma '(1)}{\Gamma(1)}=\Gamma'(1)=-\gamma-1+1=-\gamma$$