Creo que usted también puede usar los siguientes:
$\Gamma$ también puede ser expresado como
$$\Gamma(z) = \frac{\exp{(-\gamma z)}}{z}\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{\exp \left({\frac z n}\right)}{1+\dfrac z n }$$
Así que
$$\log \Gamma(z)=-\gamma z-\log z+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{z}{n}-
\sum\limits_{n=1}^\infty\log \left(1+\frac z n \right)$$
Ahora no voy a la dirección de convergencia de ahora (que puedes consultar en Landau del Cálculo, en el capítulo dedicado a la función Gamma), pero la diferenciación de da
$$\frac{\Gamma '(z)}{\Gamma(z)}=-\gamma-\frac 1 z+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac 1 n-\frac{1}{n+z}\right) $$
$$\frac{\Gamma '(z)}{\Gamma(z)}=-\gamma-\frac 1 z+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{z}{n(n+z)} $$
Dejando $z=1$ le da:
$$\frac{\Gamma '(1)}{\Gamma(1)}=\Gamma'(1)=-\gamma-1 +\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} $$
Pero sabemos que
$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=1$$
así que
$$\frac{\Gamma '(1)}{\Gamma(1)}=\Gamma'(1)=-\gamma-1+1=-\gamma $$