Zhen Lin Postscript ya respuestas a la pregunta general: Si $F$ es isomorfo a un functor de la forma $R \mapsto \{a \in R^I : f_j(a)=0 \forall j\}$ donde $I$ es un conjunto y $f_j \in k[\{X_i\}_{i \in I}$ son polinomios, entonces $F$ está representado por $k[\{X_i\}_{i \in I}]/(f_j)$. Por ejemplo, el functor $R \mapsto \{(a,b,c) \in R^3 : 1+ab=c^2, c \in R^*\}$ es isomorfo a $\{(a,b,c,d) \in R^4 : 1+ab=c^2,cd=1\}$ y, por tanto, representado por $k[x_1,x_2,x_3,x_4]/(1+x_1 x_2-x_3^2,1-x_3 x_4)$.
Permítanme aplicar esto a una situación específica donde es probable que no vea una representación de objeto inmediatamente. Espero que esto ilustra cómo se puede encontrar una representación de objeto bastante sistemática.
Deje $G$ ser un grupo y corregir algunas $n \in \mathbb{N}$. Si $R$ $k$- álgebra, vamos a $F_G(R)$ el conjunto de $n$-representaciones tridimensionales de $G$$R$, es decir, homomorphisms $G \to \mathrm{GL}_n(R)$. La acción en morfismos es claro, por lo tanto tenemos un functor $F_G : \mathsf{Alg}(k) \to \mathsf{Set}$. Yo reclamo que $F_G$ es representable por algunos $k$-álgebra $R_k(G)$. Por supuesto, esto es claro por la costumbre Functor Adjunto Teorema citado por Zhen Lin. Pero, ¿cómo $R_k(G)$?
Para $G=\mathbb{Z}$ tenemos $F_{\mathbb{Z}}(R)=\mathrm{GL}_n(R)$, lo cual está claramente representada por $R_k(\mathbb{Z})=k[\{X_{ij}\}_{1 \leq i,j \leq n},\mathrm{det}(X_{ij})^{-1}]$ (usando las propiedades universales del polinomio álgebras y localización).
Si $G=G_1 \sqcup G_2$ es un subproducto de los dos grupos, a continuación,$F_{G}=F_{G_1} \times F_{G_2}$, lo $R_k(G)=R_k(G_1) \sqcup R_k(G_2)$ $k$- álgebras, donde $\sqcup=\otimes_k$ aquí. El mismo funciona para infinidad de grupos. Por lo que hemos encontrado $R_k(G)$ gratis grupos de $G$.
Si $G_1 \rightrightarrows G_2 \to G$ es un coequalizer, a continuación, $F_G \to F_{G_1} \rightrightarrows F_{G_2}$ es un ecualizador, por lo tanto $R_{G_1} \rightrightarrows R_{G_2} \to R_G$ es un coequalizer. Ya que cada grupo de $G$ es algunos coequalizer como el anterior y con $G_1,G_2$ libre, hemos construido $R_k(G)$.
Tenga en cuenta que aunque la construcción de la $R_k(G)$ depende de una presentación gratuita de $G$ y por lo tanto es terriblemente uncanonical, la definición a través de la característica universal $\hom_{\mathsf{Alg}(k)}(R_k(G),R) \cong \hom_{\mathsf{Grp}}(G,\mathrm{GL}_n(R))$ significa que $R_k(G)$ es canónicamente determinado.
Aquí está un ejemplo: supongamos $n=1$$G=\mathbb{Z}/5$. Tenemos $R_k(\mathbb{Z})=k[x,x^{-1}]$. Desde $\mathbb{Z} \rightrightarrows \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/5$ es un coequalizer, donde los dos mapas de la multiplicación con $0$ resp. $5$, se sigue que (uno de los posibles para la construcción) $R_k(\mathbb{Z}/5)$ es el coequalizer de $k[x,x^{-1}] \rightrightarrows k[x,x^{-1}]$, donde los mapas enviar $x \mapsto x^0=1$ resp. $x^5$, es decir,$k[x]/(x^5-1)$.
En realidad, este ejemplo es un caso especial de una forma muy general la noción de producto tensor estudiado por Freyd en su papel de Álgebra valores de functors en general y de tensor de productos en particular. Si $C,D,E$ son algebraicas categorías, a continuación, haga adjoints $C \to D$ $D \to E$ componer a un derecho adjoint $C \to E$. Pero adjoints $C \to D$ están representados por la Co-$C$-álgebras en $D$. Por lo tanto, si también tenemos un Co-$D$-álgebra en $E$, podemos "tensor" $D$ para obtener un Co-$C$-álgebra en $E$. Puede ser descrito a través de generadores y relaciones. En el ejemplo anterior, $F_G$ es la composición de la representable functors $\mathrm{GL}_n : \mathsf{Alg}(k) \to \mathsf{Grp}$$\hom(G,-):\mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$, por lo tanto representado por $A \otimes_{\mathsf{Grp}} G$ donde $A$ es $\mathrm{GL}_n$. Por supuesto, Freyd del tensor de productos se pueden aplicar a muchos otros ejemplos.
