Integración de contorno de ojo de la cerradura

Question

Me gustaría mostrar que $\int_{-\infty}^\infty {\sin(ax)\exp(ibx)\over x}dx$ es igual a $\pi$ $b\in (-a,a)$ y es igual a $0$ lo contrario.

Así que he pensado que voy a usar el ojo de la cerradura de contorno de integración, con un positivamente orientado contorno en la mitad superior del plano y tener una sangría en $z=0$. Desde $z=0$ es un simple poste, puedo aplicar la sangría teorema que me da (creo) un arco integral de la sangría como $0$, y desde mi contorno no encierra ninguna, las singularidades de Cauchy teorema sugiere que el contorno de la integral es $0$. Ahora necesito encontrar la integral de el arco más grande (de radio $R$, dicen) de la curva de nivel y encontrar su límite como $R\to \infty$. Pero no sé bien cómo.

Answer 1

Considere la función $f(x)=\frac{\sin ax \,\,e^{ibx}}{x}=\frac{e^{i(b+a)x}-e^{i(b-a)x}}{2ix}$. Indicar $t=b+a$ y $s=b-a$.
Definir $g_t(z)=\frac{e^{itz}}{2iz}$. Ahora, integrar esta función en el contorno superior del medio plano: $\gamma_1(t)=t, \,\,\gamma_2(t)=-t$ donde $t\in[\varepsilon,R]$ y $\gamma_\varepsilon(t)=\varepsilon e^{i(\pi-t)},\,\,\gamma_R(t)=R e^{it}$ donde $t\in[0,\pi]$.
Lo que necesita es $\lim_{R\to\infty,\, \varepsilon\to0}\int_{\gamma_1\oplus\gamma_2}(g_t(z)-g_s(z))dz$. Les calcular por separado - igual para ambos. Es fácil demostrar que $\int_{\gamma_R} g_t(z)dz\to0$ cuando $R\to\infty$ si $t> 0$. Además, $\int_{\gamma_\varepsilon}g_t(z)dz=-\pi i Res(g_t(z),0)$. Cálculo de $t,s$ suponiendo que cada uno es positivo, cero o negativo y usted conseguirá el resultado requerido.