Problema en Teorema de punto fijo de Banach para una ecuación funcional

Question

Recientemente se me presentó esta dentro del contexto de los espacios topológicos:

Se me pide que muestran que existe una única función continua $ f\colon \left[0,\frac{1}{2}\right] \rightarrow \Bbb R $ tal que para todos los $ x \in \left[0,\frac{1}{2}\right] $ la siguiente igualdad se tiene: $$ f(x) = \frac{x}{2}\sin f(x) +\sin\left( f\left(\frac{x}{2}\right)\right)+1. $$ Puedo hacer esto porque es simplemente en busca de un punto fijo de la contratación de operador $ T(f(x)) = \frac{x}{2}\sin(f(x))+\sin(f(\frac{x}{2}))+1. $ me puede enseñar a ser la contratación de $ x \in [0,\frac{1}{2}] $ y el espacio de funciones continuas $ C\left[0,\frac{1}{2}\right] $ es de curso completo, así que de Banach del teorema de punto fijo se mantiene.

Ahora la parte difícil: el mismo problema que antes, sólo que ahora el intervalo es $[0,1)$. ¿Cómo lo hago? Sé que $C[0,1)$ no es completa y el operador sí no es una contracción, por lo que de Banach del punto fijo es el teorema de la ventana. Hay otra solución?

Answer 1

Sugerencia.

Usted puede utilizar Banach teorema de punto fijo para el operador $T$ restringido al espacio de $\mathcal C([0,1-\frac{1}{n}])$ $n \ge 2$ $T$ es una contracción en este espacio. Para cada una de las $n$ usted obtiene una única función continua $f_n$ definido en $[0,1-\frac{1}{n}]$ solución del punto fijo de Banach problema (el definido por $T$ operador). Por la unicidad, si $n < m$, $f_m$ se extiende $f_n$. Y para todos los $x \in [0,1)$, se puede encontrar una solución del punto fijo de Banach problema para $1-\frac{1}{n} > x$.

Finalmente se define una solución elemento $f$ $\mathcal C([0,1))$ por $$f=\bigcup_{n \ge 2} f_n$$ which defines a function of $[0,1)$ as $f_n \subconjunto f_m$ for $n \le m$.

La idea es similar a la utilizada para definir la máxima soluciones de ecuaciones diferenciales.