Que $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ sea una función tal que para cualquier $b \in \mathbb R$, la función $f_b : \mathbb R \to \mathbb R$ define como $f_b(x):=f(x,b) , \forall x \in \mathbb R$, es un polinomio en $x$ y para cualquier $a \in \mathbb R$, la función $f_a : \mathbb R \to \mathbb R$ define como $f_a(y):=f(a,y) , \forall y \in \mathbb R$, es un polinomio en $y$. ¿Es entonces la función $f(x,y)$ un polinomio en $x,y$ es decir es $f \in \mathbb R [x,y]$?
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- Polinomio real en dos variables (3 respuestas )
Respuesta
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Ryan Cassidy
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Para $n\in\mathbb{N}$, denotan $$E_n=\{x\in\mathbb{R}: \deg(f(x,\cdot))\leq n\}.$$ Desde $\mathbb{R}=\cup_n E_n$ es incontable, todos los $E_n$'s no puede ser finito y no existe $n$ tal que $E_n$ es infinito. Para todos $x\in E_n$, $f(x,\cdot)$ está completamente determinada por sus valores en $n+1$ puntos dados (decir $0,\ldots,n$) y denotando $L_0,\ldots, L_n$ los polinomios de Lagrange en estos puntos, obtenemos $$\forall x\in E_n, \forall y\in\mathbb{R}, f(x,y) = \sum_{i=0}^n f(x,i)L_i(y).$$ Al $y$ es fijo, $f(x,y)$ y en la parte derecha plazo son ambos polinomios en $x$, que coincide en el conjunto infinito $E_n$, por lo que coinciden en $\mathbb{R}$. Finalmente, $f$ coinciden en $\mathbb{R}^2$ con la mano derecha plazo, que es un polinomio en a$x$$y$.
