De representaciones irreducibles de la álgebra de Lorentz a las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz

Question

Mis notas de la conferencia estado que necesitamos para clasificar todos finito-dimensional irreductible representaciones de la adecuada, orthochronous grupo de Lorentz en el fin de formular un QFT para las partículas con no-cero vuelta.

Esto se hace a través de la caracterización de Lorentz álgebra por los autovalores $a (a + 1)$ $b (b + 1)$ de los cuadrados de los operadores $$ \vec{A} = \frac{1}{2} (\vec{J} + \vec{K}) \\ \vec{B} = \frac{1}{2} (\vec{J} - i \vec{K}) , $$ donde $\vec{J}$ es el generador de la rotación y de la $\vec{K}$ el generador de estímulos.

La correspondiente representación del grupo de Lorentz se obtiene tomando la exponencial mapa de particular a los operadores como a$\frac{\vec{\sigma}}{2}, 0$$a = \frac{1}{2}, b = 0$.

Puede $\vec{A}^2$ $\vec{B}^2$ ser entendido como el Casimirs de la Mentira de álgebra o tienen algo en común con el concepto (me falta un poco de comprensión aquí)?

¿Cómo puedo garantizar que la toma de la exponencial mapa de una representación irreducible de la Mentira de álgebra me da una representación irreducible en el correspondiente grupo Mentira?

Answer 1

1) Finito-dimensional irreductible

• (i) las representaciones de la doble cubierta de la $SL(2,\mathbb{C})$ del restringido grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$,

• (ii) las representaciones de la correspondiente Mentira álgebra $so(1,3;\mathbb{R})$,

• (iii) las representaciones de el restringido grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$,

están todos marcados por los dos no negativo de la mitad enteros $$(a,b)~\in~\frac{1}{2}\mathbb{N}_0 \times\frac{1}{2}\mathbb{N}_0.$$

Véase también por ejemplo, este Phys.SE post y los enlaces en el mismo.

2) Si $a+b~\in~\mathbb{N}_0$ es un número entero, es también un grupo de representación del restringido grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ sí.

3) $A_i$ y $B_i$, $i\in\{1,2,3\},$ son las $3+3=6$ generadores de la complexified Mentira álgebra $$so(3,1;\mathbb{C})~\cong~sl(2,\mathbb{C})_A\oplus sl(2,\mathbb{C})_B,$$ with quadratic Casimirs $\vec{A}^2$ and $\vec{B}^2$.

4) El mapa exponencial $\exp: so(3,1;\mathbb{R})\to SO^+(1,3;\mathbb{R})$ para el restringido grupo de Lorentz es surjective, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.