Si $a \in \mathbb{Z}_5$ y $a \equiv \pm1 \text{ }(\text{mod }5)$ ¿existe $x \in \mathbb{Z}_5$ donde $x^2 = a$ ?

Question

Si $a \in \mathbb{Z}_5$ y $a \equiv \pm1 \text{ }(\text{mod }5)$ ¿existe $x \in \mathbb{Z}_5$ donde $x^2 = a$ ? Sé que queremos utilizar el Lemma de Hensel de alguna manera para evaluar esta cuestión, pero no estoy seguro de ver cómo hacerlo. ¿Alguien podría ayudar?

Editar. OP aquí con una cuenta. Aquí está mi progreso hasta ahora. Considere $x \mapsto x^2$ en $(\mathbb{Z}/5^n\mathbb{Z})^\times$ . El núcleo es $\{\pm1\}$ así que la mitad de los elementos son cuadrados. Si $[a]$ es un cuadrado $(\mathbb{Z}/5^{n+1}\mathbb{Z})^\times$ También debe ser $(\mathbb{Z}/5^n\mathbb{Z})^\times$ . Entonces, el conteo dice que la única manera de conseguir suficientes casillas en $(\mathbb{Z}/5^{n+1}\mathbb{Z})^\times$ es que es si-y-solo-si. Así que podemos reducir al caso $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times$ . Sin embargo, estoy atascado aquí, ¿alguien podría ayudarme a terminar?

Answer 1

Debe quedar claro que basta con demostrar que si $a\equiv1\pmod5$ entonces hay una raíz cuadrada de $a$ en $\Bbb Z_5$ . Puede utilizar la serie binomial para $(1+x)^{1/2}$ en el que los únicos denominadores son potencias de $2$ y por lo tanto $5$ -enteros radicales. Esto significa que cuando se sustituye $a-1$ para $x$ , se obtiene un $5$ -series adicalmente convergentes, ya que $5|(a-1)$ .

También puede utilizar un llamamiento directo a Strong Hensel. Dice que si $f\in\Bbb Z_p[x]$ y los correspondientes factores polinómicos sobre $\Bbb F_p$ en factores relativamente primos, entonces estos se elevan a la característica cero. Más precisamente, llamando a $\tilde f$ el polinomio reducido en $\Bbb F_p[x]$ Si $\tilde f(x)=\gamma(x)\eta(x)$ producto de dos $\Bbb F_p$ polinomios, y si $\gcd(\gamma,\eta)=1$ entonces hay polinomios $g(x),h(x)\in\Bbb Z_p[x]$ con $\tilde g=\gamma$ , $\tilde h=\eta$ , $f=gh$ y $\deg(g)=\deg(\gamma)$ .

(Por cierto, en mi opinión, el artículo de Wikipedia sobre el lema de Hensel no vale nada, porque no dice nada sobre la versión Strong).