Una matriz Householder es simétrica

Question

Quiero demostrar que una matriz Householder es simétrica, por lo que debo demostrar que $H^T = H$ pero a partir de la fórmula

$$H= I - (uu^T/\beta),$$

no son iguales. ¿Qué hay de malo en mi razonamiento?

EDIT: Se me olvidó que $(uu^T)^T$ sería $(u^T)^T(u)^T$ de las siguientes propiedades: $(AB)^T=B^TA^T$

Answer 1

Sugerencia : $I$ es simétrico y $uu^{T}$ es simétrica.

De ello se desprende,

$I^{T} =I$ y $(uu^{T})^{T}=uu^{T}$ (Recordemos que $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ )

Por lo tanto, $H^{T}=(I-uu^{T}/\beta)^{T}=I^{T}-(uu^T/\beta)^{T}=I-uu^{T}/\beta=H$

Ciertamente, $H $ es simétrica.

Answer 2

$$H = I - \frac {2} {u^T u} u u^T=I+\alpha \ u u^T$$

$$H^T=(I+\alpha \ u u^T)^T=I^T+\alpha \ (uu^T)^T=I+\alpha (u^T)^Tu^T=I+\alpha \ u u^T=H$$

Donde yo usaba $I^T=I$ y el propiedades básicas de la matriz transpuesta, a saber

• Para los escalares $\lambda$ tenemos $(\lambda A)^T=\lambda A^T$
• $(A+B)^T=A^T+B^T$
• $(AB)^T=B^TA^T$
• $(A^T)^T=A$