Este puede ser hecho por medio de la inclusión-exclusión. Tenga en cuenta que la combinatoria de las especies $\mathcal{Q}$ de permutaciones cuya orden se divide $k$ está dado por
$$\mathcal{P} =
\mathfrak{P}\left(\sum_{d|k} \mathfrak{C}_d(\mathcal{Z})\right).$$
Traducción al exponencial funciones de generación obtenemos el FEAG de permutaciones cuya orden se divide $k$, que es
$$Q_k(z) = \exp\left(\sum_{d|k} \frac{z^d}{d}\right).$$
Ahora podemos utilizar esta generación de la función de conteo de permutaciones de orden exactamente $k$ por la inclusión-exclusión. Considere el diagrama de Hasse del divisor poset de $k.$ Por la inclusión-exclusión de etiquetar el nodo superior, que es $k$, con un peso de uno en representación de permutaciones de orden exactamente $k$ y descienden a lo largo de las cadenas, el etiquetado de cada nodo $d$ con el peso adecuado para hacer que los pesos de los poset se extendió por $d$ $k$ suma cero.
Deje $f_1(d)$ ser el peso de la función. El proceso anterior proporciona las siguientes dos ecuaciones:
$$f_1(k) = 1 \quad\text{and for}\quad d|k,\; d<k,\quad \sum_{m|k/d} f_1(dm) = 0.$$
Ahora introduce $f_2(d) = f_1(k/d).$ La definición de las ecuaciones, a continuación, convertirse en
$$f_2(1) = 1 \quad\text{and for}\quad d|k,\; d>1,\quad \sum_{m|d} f_2(m) = 0.$$
Pero esta es la definición de la ecuación de la función de Möbius $\mu(d)$ desde básico de la teoría de números. Por lo tanto el peso de la inclusión-exclusión de los términos está dado por $\mu(k/d)$ y finalmente tenemos el EGF
$$P(z) = \sum_{d|k} \mu(k/d) \times Q_d(z)
= \sum_{d|k} \mu(k/d) \exp\left(\sum_{m|d} \frac{z^m}{m}\right).$$
El deseado contar es el dado por $$n! [z^n] Q(z).$$
Esta fórmula produce por ejemplo, para $k=6$ el EGF
$$P(z) =
{{\rm e}^{z}}-{{\rm e}^{z+1/2\,{z}^{2}}}-{{\rm e}^{z+1/3\,{z}^{3}}}+{{\rm e}^{z+1/2\,{
z}^{2}+1/3\,{z}^{3}+1/6\,{z}^{6}}}$$
con la secuencia de valores de partida en $n=5$
$$20, 240, 1470, 10640, 83160, 584640, 4496030, 42658440, 371762820, 3594871280,\ldots$$
que es OEIS A061121.
Para $k=8$ obtenemos el EGF
$$P(z) =
-{{\rm e}^{z+1/2\,{z}^{2}+1/4\,{z}^{4}}}+{{\rm e}^{z+1/2\,{z}^{2}+1/4\,{z}^{4}+1/8\,{z
}^{8}}}$$
con la secuencia de valores de partida en $n=8$
$$5040, 45360, 453600, 3326400, 39916800, 363242880, 3874590720, 34767532800,\ldots$$
que es OEIS A061122.
Finalmente, para $k=12$ obtenemos el EGF
$$P(z) =
{{\rm e}^{z+1/2\,{z}^{2}}}-{{\rm e}^{z+1/2\,{z}^{2}+1/4\,{z}^{4}}}-{{\rm e}^{z+1/2\,{z
}^{2}+1/3\,{z}^{3}+1/6\,{z}^{6}}}+{{\rm e}^{z+1/2\,{z}^{2}+1/3\,{z}^{3}+1/4\,{z}^{4}+1
/6\,{z}^{6}+1/12\,{z}^{12}}}$$
con la secuencia de valores de partida en $n=7$
$$420, 3360, 30240, 403200, 4019400, 80166240, 965284320, 12173441280, 162850287600,\ldots$$
que es OEIS A061125.
Comentario de Lun Jul 28 2014. El argumento anterior es correcto, pero puede ser simplificado mediante el reconocimiento de la Moebius inversión de la fórmula que aparece.
