convergencia absoluta de $\sum _{n=1}^{\infty} a_n$ ¿Implicar?

Question

La pregunta es :

Si $\sum _{n=1}^{\infty} a_n$ es absolutamente convergente, ¿cuál de las siguientes opciones no es cierta?

• $\sum_{m=n}^{\infty}a_m\rightarrow 0$ como $n\rightarrow \infty$
• $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin n$ es convergente.
• $\sum_{n=1}^{\infty}e^{a_n}$ es divergente.
• $\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$ es divergente.

Lo primero en lo que me gustaría concentrarme es en la tercera opción (ya que es fácil :P)....

convergencia absoluta de $\sum _{n=1}^{\infty} a_n$ implica $a_n\rightarrow 0$ es decir, $e^{a_n}\rightarrow 1$ es decir, $\sum_{n=1}^{\infty}e^{a_n}$ es divergente.

Supongo que la segunda opción es la más probable

Es seguro que la convergencia absoluta como $|a_n\sin n|\leq |a_n|$ para todos $n$ .... No pude dar un argumento concreto para la convergencia.

Supongo que la cuarta opción es falsa...

convergencia absoluta de $\sum _{n=1}^{\infty} a_n$ implica $a_n\rightarrow 0$ es decir, después de cierta etapa $|a_n|<1$ es decir, $|a_n^2|<|a_n|$ Así, tendríamos la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$ .

No entiendo cuál es el objetivo real de la primera opción...

Podría alguien confirmarme si esta justificación de la segunda/tercera/cuarta opción es suficiente y ayudarme a entender qué es la primera opción...

Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\ra}{\operatorname{\rightarrow}}$ Supongo que los términos de su serie son números reales.

1) En primer lugar, observe que la convergencia absoluta implica que cada "cola infinita" $\sum_{n=N}^{\infty} a_n$ es convergente. La condición $\sum_{m=N}^{\infty} a_m \rightarrow 0$ como $N \rightarrow \infty$ es precisamente la afirmación de que la secuencia de sumas parciales $\sum_{k=1}^n a_k $ es una secuencia de Cauchy. Como $\mathbb{R}$ es completa, esto equivale a la convergencia de la serie. Dado que las series absolutamente convergentes son convergentes, esto se deduce de la convergencia absoluta.

Aquí la convergencia absoluta se utilizó sólo para ver que $\sum_{m=N}^{\infty} a_m$ es un número real. Si interpretamos el enunciado como $\sup_{k \geq N} |\sum_{n=N}^{N+k} a_n| \ra 0$ como $N \ra \infty$ entonces no necesitamos la convergencia absoluta para deducirlo.

2) La desigualdad $|a_n \sin n| \leq |a_n|$ muestra que $\sum_n |a_n \sin n| \leq \sum_n |a_n| < \infty$ , por lo que la serie $\sum_n a_n \sin n$ es absolutamente convergente y, por tanto, convergente.

La simple convergencia del $a_n$ no es suficiente. Por ejemplo, se podría tomar $a_n = \frac{\sin n}{n}$ . Es delicado demostrar que esta serie es convergente -se necesita algo así como la prueba de Dirichlet- pero sí converge. Entonces $\sum_n a_n \sin n = \sum_n \frac{ \sin^2 n}{n}$ y esto es divergente porque por ejemplo $|\sin n| \geq \frac{1}{2}$ durante al menos $\frac{1}{3}$ de la $n$ entre $1$ y $N$ .

3) Lo que dices es correcto. Fíjate que has utilizado mucho menos que la convergencia absoluta de la serie pero sólo que $a_n \ra 0$ .

4) Como usted dice, la convergencia absoluta implica $a_n \ra 0$ Por lo tanto $a_n^2 \leq |a_n|$ para un tamaño suficientemente grande $n$ Por lo tanto, en comparación $\sum_n a_n^2$ es convergente.

La simple convergencia del $a_n$ no es suficiente: toma $a_n = \frac{(-1)^n}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

Answer 2

Esto último no es cierto ya que para grandes $n$ , $|a_n| < 1$ así que $a_n^2 < |a_n|$ para todos esos $n$ .

El resto es cierto. Cualquier serie que sea convergente debe tener sus términos a cero. Esto es cierto por el criterio de Cauchy. Elija $\epsilon > 0$ . Escoge $N$ así que $m, n \ge N\implies |s_m - s_n| < \epsilon$ donde el $s_n$ son las sumas parciales. Sea $m = n+1$ tenemos $|a_{n+1}| < \epsilon$ para $n\ge N$ .