Líneas en medio espacio superior

Question

Le estoy enseñando a un tour-de-clásica-la geometría de la clase de este semestre, y estamos pronto a introducir la geometría hiperbólica. Yo soy muy inexperto en este tema, y tengo una pregunta acerca de la compatibilidad de un par de básicos puntos de vista sobre el plano hiperbólico.

$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\RP}{\R\mathrm P}\newcommand\CP{\C \mathrm P}\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}$En primer lugar, el plano hiperbólico puede ser visto como una determinada superficie con una métrica. Puede ser compactified mediante la adición de una $\RP^1$ a su "límite". Si te gusta, usted puede pensar en el plano hiperbólico como ser modelado en el complejo de la mitad superior del plano, con $\RP^1$ añadido en el eje real y en el complejo infinito. Este compactification tiene la propiedad agradable que isometrías del plano hiperbólico de acuerdo con isometrías de $\RP^1$: una isometría del plano hiperbólico se extiende para dar una isometría de la frontera, y una isometría de la frontera llena de dar una isometría del plano hiperbólico.

A la luz del "complejo de la mitad superior en el plano" modelo, hay una segunda manera natural uno puede llegar a este objeto: $\RP^1$ tiene un natural de la incrustación en $\CP^1$ como los puntos fijos de la acción de la $\Gal(\C/R)$. Los otros puntos en $\CP^1$ aparecen en Galois conjugado de pares que, sin pérdida de generalidad, puede ser identificado con la mitad de la pareja que resulta estar en la mitad superior del plano -. Esto deja en claro que automorfismos de a $\RP^1$ extender a los automorfismos de a $\CP^1$: estos son exactamente los automorfismos de a $\CP^1$ (es decir, las transformaciones de Möbius, o lineal fraccional transformaciones), que fijan $\RP^1$ (es decir, que tiene coeficientes reales).

Lo que no es obvio a partir de la segunda presentación es cómo comenzar a hacer geometría con $(\CP^1 \setminus \RP^1) \; //\; \Gal(\C/\R)$. La presentación original del plano hiperbólico viene equipado con una definición de una línea: estos son los geodesics para la métrica, y uno calcula que estos están dados por los círculos en el complejo de la mitad de plano con el centro de la mentira en el eje real. Explícitamente, estos son conjuntos de soluciones de ecuaciones como $$z \bar z - b (z + \bar z) + c = 0$$ where $b$ and $c$ son reales y el conjunto solución es vacío. Esta expresión es, evidentemente, Galois-invariante, pero no puedo adivinar de dónde provendrían en el Galois versión de la historia.

Pregunta: ¿hay una puramente Galois perspectiva sobre el por qué de esta ecuación merece ser llamado algo así como una "línea" en $\CP^1\;//\;\Gal(\C/\R)$?

Parece a mí que esta pregunta, si responde, es un poco complicado. Por ejemplo, me imagino que se apoya en $[\C:\R] = 2$ - de la vida feliz de los accidentes, pero algo ocultando en una pregunta como esta.

P. S.: estoy feliz de haber dicho que yo estoy buscando algo que no existe. De dimensiones superiores hiperbólico espacios, probablemente, no surgen como este, y tal vez la idea de hacer el plano de la geometría en este objeto es totalmente una consecuencia de la accidental isomorfismo con el plano hiperbólico. Eso está bien también!

Answer 1

Se puede redescubrir la geometría si se supone que las isometrías de la geometría son impartidas por algunos homographies.

El grupo de orientación de la preservación de homographies que dejan $\Bbb P^1(\Bbb R)$ invariante es $G = PGL_2^+(\Bbb R) = GL_2^+(\Bbb R) / \Bbb R^*I_2$ ($+$ indica que sólo mantener las matrices con determinante positivo).
Su Mentira álgebra es $A = (M_2(\Bbb R), +) / \langle I_2 \rangle$ a venir con el natural mapa de $\exp : A \to G$

Dado un punto de $z \in \Bbb C$ y un elemento $a \in A$, obtenemos una órbita $\{\exp(ta).z \mid t \in \Bbb R\}$. Esas órbitas puede ser una línea o un segmento), un círculo o un arco), o una especie de espiral.

Las líneas y los círculos pueden ser simétrica con respecto al complejo de la conjugación, pero espirales no se puede, así que sólo podemos mirar para líneas y círculos.

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En primer lugar, de pie en un punto de $z$ en la mitad superior del plano, y girar alrededor de sí mismo. Lo que usted debe ver debe ser dada por una homografía con un simple punto fijo en $z$ (y en su conjugado). El mapa de $f \mapsto f'(z)$ es un isomorfismo entre el grupo de complejo homographies fijación $z,\bar z$$\Bbb C^*$ ; el subgrupo de bienes homographies, a continuación, corresponde a la unidad de círculo, y ellos van a estar en nuestro grupo de rotaciones alrededor de $z,\bar z$. Así que decidimos que será isometrías de nuestra geometría.

Buscando en las órbitas de los puntos alrededor de usted a través de ese círculo de grupo, usted debe ver la mitad superior del plano se divide en un montón de círculos.
Los círculos pueden ser caracterizados por la propiedad de que la imagen de $z$ por la inversión a través de ellos da $\bar z$. (buscando en las ecuaciones de los círculos, que forma una línea proyectiva, y todos los círculos son concurrentes en un par de conjugar los puntos de la complexified avión real, que puede interpretarse como el par conjugado $\{z,\bar z\}$)

También, cualquier círculo en la mitad superior del plano es un círculo (... mirada en el complejo puntos de intersección de la circunferencia con la recta real para obtener su "hiperbólico"centro)

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¿Qué debe una línea infinita ?

Entre los complejos homographies con un punto fijo en un par conjugado $\{z, \bar z\}$ hay otra natural subgrupo a considerar, aquellos con un derivado en $\Bbb R_{>0}$ (precaución : los homographies NO son reales ! sin embargo, ellos satisfacen $f \circ \bar f = id$ ; por lo que sus órbitas son todavía invariante por la conjugación, por lo que no es tan malo)

Esas órbitas hará naturalmente ángulos rectos con todos nuestros círculos, así que esto le da otra definición de una línea como un objeto que hace ángulo recto con todos los círculos centrados alrededor de un punto.

En particular, se hará ángulos rectos con $\Bbb P^1(\Bbb R)$, por lo que son las líneas verticales y los círculos con centro en el eje real.

Otra forma de definir una línea es como la bissecting línea entre dos puntos de $z_1,z_2$. Ya podemos juzgar cuando dos puntos están a igual distancia de otro punto, podemos hablar de un bissector : $z$ está en la línea bissecting $z_1$ $z_2$ si hay un círculo de "centro" $z$ al pasar a través de ambos $z_1$$z_2$. Con esto se puede obtener el círculo (o vertical) normal a la línea real que invierte $z_1$$z_2$.

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Finalmente, para obtener la distancia entre el $2$ puntos, nos fijamos en la línea que une a ellos. Tiene dos puntos de intersección $r_1,r_2$ con el horizonte (el eje real), así que veamos real homographies fijación $r_1,r_2 \in \Bbb P^1(\Bbb R)$. De nuevo, mirando a su (real) de derivados en $r_1$ (uno en $r_2$ será su inverso multiplicativo) da un isomorfismo entre este grupo y $(\Bbb R_{>0}, \times)$. Entre este grupo, hay una homografía el envío de $z_1$$z_2$. Tomando el valor absoluto del logaritmo natural de la derivada es la única opción posible para determinar la distancia recorrida por que homografía, por lo que la distancia entre el$z_1$$z_2$.

El más simple ejemplo numérico es cuando la línea se une a $0$$i\infty$. A continuación, el grupo es, simplemente, $\Bbb R_{>0}$ actuando por homothety. Dado $iy_1$ $iy_2$ en la línea, su distancia es, por tanto,$|\log(y_2/y_1)| = |\log y_2 - \log y-1| = \int_\gamma \frac 1 y |dl|$.

Desde las rotaciones que se supone son isometrías, la longitud de un segmento de cerca de $z$ no depende de su dirección : la longitud de un segmento infinitesimal de euclidiean longitud de $dl$ $x+iy$ se $\frac 1y dl$, de la que podemos recuperar la $ds^2 = (dx^2 + dy^2)/y^2$.