Existencia de homomorfismo de anillo de$\mathbb{Z}[\frac{i}{2}]$ a un campo finito

Question

¿Existe un homomorfismo de anillo de$\mathbb{Z}[\frac{i}{2}]$ a un campo finito con la característica$p\equiv 3 \bmod 4$ tal que la unidad está mapeada sobre la unidad?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sí, existe tal homomorfismo. Sea$p$ cualquier congruente primario con$3$ mod$4$, y deje que$n$ sea cualquier número natural. Entonces

• el campo finito$\mathbb{F}_{p^n}$ tiene la característica$p$
• hay una raíz$\alpha$ del polinomio$x^2+1$ in$\mathbb{F}_{p^n}$
• ya que$p$ es impar, existe un$\frac{1}{2}\in\mathbb{F}_{p^n}$

Entonces podemos formar el homomorfismo de anillo$f:\mathbb{Z}[\frac{i}{2}]\to\mathbb{F}_{p^n}$ definido por$f(1)=1$ y$f(\frac{i}{2})=\frac{\alpha}{2}$.

Sin embargo, de nuevo con$p\equiv 3\bmod 4$, no hay homomorfismo$f:\mathbb{Z}[\frac{i}{2}]\to\mathbb{F}_{p^n}$ cuando$n$ es impar.

Answer 2

Deje $K$ ser un campo de característica $p$ donde $p$ es un (positivo) prime. Escribir $R$ para el anillo de $\mathbb{Z}\left[\frac{\text{i}}{2}\right]$. Supongamos $\varphi:R\to K$ es un anillo homomorphism el envío de $1 \in R$$1 \in K$. Suponga que $\omega$ es la imagen de $u:=\frac{\text{i}}{2}$. Entonces, tenemos $$4\omega^2=(2\omega)^2=\big(2\varphi(u)\big)^2=\big(\varphi(2u)\big)^2=\big(\varphi(\text{i})\big)^2=\varphi\left(\text{i}^2\right)=\varphi(-1)=-1\,.$$ (For this to make sense, $p \neq 2$.)

Si $p\equiv 1\pmod{4}$, entonces claramente $\omega$ es en el primer campo de $\mathbb{F}_p \subseteq K$. Elementos de $R$ tomar la forma $\frac{a+b\text{i}}{2^n}$ donde$a,b\in\mathbb{Z}$$n \in \mathbb{N}_0$. Por lo tanto, $\varphi:R\to \mathbb{F}_p$ envía $\frac{a+b\text{i}}{2^n} \in R$$\frac{a+b\omega}{2^n} \in \mathbb{F}_p$. (Por supuesto, hay dos de esas $\varphi$'s.)

Si $p \equiv 3\pmod{4}$, $\omega$ se encuentra dentro de un subcampo $E$ $K$ isomorfo a $\mathbb{F}_{p^2}\cong\mathbb{F}_{p}[x]/\left(x^2+1\right)\cong \mathbb{F}_p[\text{i}]$. En consecuencia, para $\varphi$ a existir, $K$ debe tener un subcampo $E$ (y por lo tanto, en el caso de que $K$ es finito, debemos tener $|K|=p^{2t}$ o $K\cong \mathbb{F}_{p^{2t}}$, para algunas de las $t \in \mathbb{N}$). Como elementos de $R$ tomar la forma $\frac{a+b\text{i}}{2^n}$ donde $a,b\in\mathbb{Z}$ y $n \in \mathbb{N}_0$, $\varphi:R\to E$ envía $\frac{a+b\text{i}}{2^n} \in R$$\frac{a+b\omega}{2^n} \in E$. (De nuevo, hay dos de esas $\varphi$'s para un determinado $E$ o $K$.)

Para responder a tu pregunta, si $p \equiv 3\pmod{4}$, un homomorphism existe si y sólo si el campo finito en cuestión es de orden $p^{2t}$ algunos $t \in \mathbb{N}$. Si omitimos la central unitaria de homomorphism condición (es decir, $1\in R$ no tiene que ser asignada a $1\in K$), entonces tenemos un mapa extra para cualquier prime $p$---el cero mapa.

EDIT: solo quiero añadir una pequeña nota en algunos (no-)la discusión que tuve con un usuario con respecto a los comentarios de abajo. Ya que los comentarios por el usuario "de la jefa de la artesanía" fueron eliminados porque él pensó que yo ", se convirtió en un esfuerzo personal" contra él, quiero explicar la situación a otras personas que quisieran saber lo que está pasando. Para ser claros, el término "anillo homomorphisms" cuando los anillos puede ser nonunital no tendrá sentido si aplicamos la "condición unitaria" (es decir, la multiplicación de la identidad de uno de los anillos se deben asignar a los multiplicativo de la identidad de otro anillo). Por lo tanto, un homomorphism entre dos unital anillos no tiene que tener este unitaria de la propiedad, pero va a ser llamados "unitarios" si se satisface esta condición unitaria. Este reclamaciones del usuario (esencialmente) que todos los homomorphisms entre dos unital anillos debe ser unitario. Por así decirlo, lo que él dijo es como sigue.

Deje $f:R\to S$ ser un anillo homomorphism de los anillos de $R$$S$. Suponga que los dos anillos se unital. No importa (a él) si $f$ envía $1_R$$1_S$. En su argumento, vamos a $g$ ser la restricción de $f$ a su imagen (es decir, $g:R\to \text{im}(f)$ es idéntica a $f$). No hay ninguna negación (de mí) que $\text{im}(f)$ es unital anillo y $g$ sería un anillo unitario homomorphism. Mi punto es, que ni siquiera es así, no quiere decir $f$ también es unitaria. Para una mejor aclaración, me ofreció un ejemplo de un homomorphism de$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Mientras que este homomorphism no es unitario, su restricción a la imagen. También he señalado que si $\text{im}(f)$ es un subconjunto de a$S$, $f$ $g$ no son ni siquiera los mismos morfismos en términos categóricos. Si el mariscal de oficio no puede entender esta explicación, creo que es inútil tener ningún argumento constructivo con él, y que es cuando él piensa que yo no quiero llevar a cabo "la verdad de los enunciados matemáticos." En analogía a su argumento, se podría decir que "todos los anillos que homomorphisms son epimorphisms"; después de todo cada anillo homomorphism es surjective a su imagen, ¿no?