La pregunta es :
Supongamos $X$ es un espacio topológico de cardinalidad infinita que es homeomórficos a $X\times X$. A continuación, cuál de las siguientes es verdadera:
- $X$ no está conectado.
- $X$ no es compacto
- $X$ no es homeomórficos a un subconjunto de a $\mathbb{R}$
- Ninguna de las anteriores.
Supongo primeras dos opciones son falsas.
Tenemos la posibilidad de que el producto de dos espacios conectados está conectado.
Por eso,$X\times X$ está conectado si $X$ está conectado. Así que supongo que no hay ningún problema.
Tenemos la posibilidad de que el producto de dos espacios Compactos es Compacto.
Por eso,$X\times X$ es Compacto si $X$ es Compacto . Así que supongo que no hay ningún problema.
Entiendo que esto no es la prueba para excluir dos primeras opciones, pero supongo que es la oportunidad más para ser falso.
ASÍ que, lo único tengo un problema con la tercera opción.
Yo no podía hacer nada para que la tercera opción..
Yo estaría muy agradecido si alguien me puede ayudar a aclarar esto.
Gracias :)
