Chern personaje en K-teoría impar

Question

Estoy familiarizado con la definición del carácter de Chern para un haz vectorial. Esto conduce a la definición del carácter de Chern para la teoría del$K$ (incluso teoría) con los valores incluso en cohomology (la definición implica clases de Chern). ¿Cómo se define el carácter Chern para el$K$ - tehory impar? Debe aterrizar en una teoría de cohomología extraña, así que no sé cuál es el candidato natural.

Answer 1

Creo que es algo como esto: Recuerde que$K^{-1}(X):=\overline{K}(S(X_+))\cong\overline {K^0}(S(X))\oplus \overline{K^0}(S^1)\cong \overline {K^0}(S(X))$. Por lo tanto, podemos definir un carácter chern (los coeficientes de cohomology son con coeficientes racionales) $ $ $ $ $ $ £ $ $ $ $ $ ev}}} (SX). $$ Usando secuencias exactas largas en cohomology, se da cuenta de que$\overline{H^{\mathrm{ev}}}(SX)=H^{\mathrm{odd}}(X)$. Componga el carácter chern de arriba con el mapa$\overline{H^{\mathrm{ev}}}(SX)\rightarrow H^{\mathrm{odd}}(X)$, para obtener un mapa$K^{-1}(X)\rightarrow H^\mathrm{odd}(X)$.