Caracterización de la esfera

Question

Hola quería probar la siguiente afirmación.

Dejemos que $M$ sea una superficie compacta conexa en $\mathbb{R}^3$ tal que para todo $d\in S^2$ existe un plano llamado $\pi_d$ , tal que es ortogonal a $d$ y es un plano de simetría de $M$ entonces $M=S^2$ .

Hasta ahora, he podido demostrar que si el origen está contenido en toda línea normal a $M$ entonces $M$ es una esfera centrada en el origen. Así que ahora he intentado ver que si tengo el plano de simetría dado por el enunciado, cada uno de esos planos contiene el origen, y de esta manera creo que podría concluir, pero no soy capaz de demostrar esta última afirmación.

Answer 1

Dejemos que $n\in S^2$ y $\alpha$ y el ángulo. Elija dos vectores $n_1,n_2\in S^2$ con $n_1\times n_2=n$ y $2\arccos\langle n_1,n_2\rangle=\alpha$ . Entonces la reflexión consecutiva en los planos $\pi_{n_1}$ y $\pi_{n_2}$ dará una rotación alrededor de $n$ con ángulo $\alpha$ . Como las reflexiones utilizadas son simetrías, también lo es la rotación. Una superficie para la que cualquier rotación es una simetría debe ser una esfera.

Answer 2

Como has mencionado, se trata de mostrar que los diferentes planos de simetría pasan todos por el mismo punto. Tomemos tres simetrías $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ en planos perpendiculares a la pareja, que se intersecan en $0$ . Sea otro plano de simetría $\pi$ . Ahora comprueba que para una simetría $\sigma$ (de hecho, cualquier isométrico $\pi$ ) y otra simetría $S_{\pi}$ con respecto al plano $\pi$ tenemos $$\sigma \circ S_{\pi} \circ \sigma^{-1} = S_{\sigma(\pi)}$$ la reflexión w r al plano $\sigma(\pi)$ .

Desde $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ y $S_{\pi}$ invariante $M$ concluimos que $S_{\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3(\pi)}$ también lo invariante. Pero $\pi' \colon = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 (\pi)$ es el simétrico de $\pi$ con respecto al punto $0$ . Es un plano paralelo a $\pi$ y, si $\pi$ no contiene $0$ , distinta de $\pi$ . Pero también $S_{\pi'} \circ \S_{\pi}$ invariantes $M$ y esta es una traducción de un $\ne 0$ vector, no es posible.

Obs: $M$ importa sólo un poco, más bien todo el asunto es sobre el grupo generado por estas reflexiones. Como no puede contener una traslación no trivial, será el grupo de isometrías que fijan un determinado punto $0$ ( el hecho de que las reflexiones generen eso es bastante estándar.

Answer 3

Supongamos que $M$ es una superficie cerrada orientable de 2 dimensiones en $\mathbb{R}^3$ .

(1) Para $x\in (M,\rho)$ , donde $\rho$ es una métrica en $M$ tenemos un plano $P$ y una reflexión $r_P$ con respecto al avión $P$ .

Así que tenemos una reclamación que $M\cap P$ es una imagen de trayectoria geodésica.

Prueba : Supongamos que el radio de inyectividad de $x$ es $\epsilon$ y $\rho(x,y)<\varepsilon $ .

Si un camino más corto $c$ entre $x$ y $y$ no está en $M\cap P$ entonces $r_P(c)\neq c$ es el camino más corto entre $x$ y $y$ . Es una contradicción.

(2) Del mismo modo, para $x'\in M$ tenemos un avión $P'$ .

Si $M\cap P,\ M\cap P'$ no se cruzan, entonces utilizando $r_P,\ r_{P'}$ hay infinitas copias isométricas en $M$ de $M\cap P,\ M\cap P'$ siempre y cuando no se crucen entre sí. Por lo tanto, $M$ tiene un diámetro infinito. Es una contradicción.

Por lo tanto, $M\cap P,\ M\cap P'$ se cruzan en $x$ con un ángulo $t$ . Aquí una composición de $r_P,\ r_{P'}$ es un $2t$ -rotación (M. Winter comentó).

(3) Considere otro punto $x''$ para que tengamos un plano $P''$ . Ese es de $M\cap P,\ M\cap P',\ M\cap P''$ tenemos un triángulo geodésico $\Delta$ . Además, en cada vértice tenemos isometría de rotación y en cada lado tenemos isometría de reflexión. A partir de estas isometrías, consideramos consideramos todas las copias de $\Delta$ para que cubran $M$ . Pueden superponerse.

Si algunas dos copias distintas se solapan en medida no nula, entonces existe un triángulo geodésico $\Delta' $ que es el solapamiento. Por lo tanto, consideramos una cubierta de copias de $\Delta'$ .

Si dos copias distintas no se solapan en medida no nula, entonces considere otro punto $x'''$ de modo que obtenemos $\Delta ''$ que tiene una superficie menor que la de $\Delta$ .

Eso es, $M$ tiene una cubierta de copias de un triángulo geodésico $\Delta$ donde el área de $\Delta$ puede ser arbitrariamente pequeño. Si $x\in \Delta$ , entonces cualquier punto $y$ en $M$ tiene un punto $y'$ con pequeñas $ \rho(y,y')$ s.t. $x,\ y'$ tiene la misma curvatura. Por lo tanto $M$ es una esfera de curvatura constante.