Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Mostrar que$f:[-1,1] \to \mathbb{R}$ diverge.

Question

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Mostrar que$f:[-1,1] \to \mathbb{R}$ diverge.

No puedo entender cómo la información sobre el derivado me ayuda. ¿Una pista, por favor?

Answer 1

Suponga$f'(0)=k>0.$ Es decir,

$$\forall \epsilon>0\exists \delta >0: 0<x<\delta \implies \frac{f(x)}{x}>k-\epsilon.$$ Thus, for $ \ epsilon = k / 2 $ tenemos

$$\exists \delta >0: 0<x<\delta \implies \frac{f(x)}{x}>k/2.$$ Thus, for $ n $ lo suficientemente grande que tenemos

$$f\left(\frac{1}{n\log n}\right)\ge \frac k{2 n\log n}.$$ Thus the series is not convergent. We can argue in a similar way if $ f '(0) = k <0. $

Answer 2

Por definición $ 0 \ neq f '(0) = \ lim_ {x \ to0} \ frac {f (x) -f (0)} {x-0} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {f {x} = \ lim_ {n \ a \ infty} \ frac {f (a_n)} {a_n} $$

que es cierto para cada secuencia$(a_n)_n\subset[-1,1]$ que converge a$0$.

Por lo tanto, tomemos $$ a_n: = \ frac1 {n \ log n} $$ de la que tiene que $ f \ left (\ frac1 {n \ log n} \ derecha) \ sim \ frac1 {n \ log n} \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 3

Como $f$ es diferenciable en a $0$, sabemos que $f$ es continua en a $0$. Así que para un pequeño suficientemente $\delta$, $f$ no cambia de signo en $[0, \delta]$. Supongamos, sin pérdida de generalidad que $f$ es positivo en $[0,\delta]$.

A continuación, se aplica el límite estándar de comparación de la prueba, y comparar nuestros suma a $\frac{1}{x\ln x}$. Entonces

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{f\left(\frac{1}{n \ln n}\right)}{\frac{1}{n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{f\left(\frac{1}{n \ln n}\right) - f(0)}{\frac{1}{n \ln n} - 0} = f'(0) \neq 0.$$

De modo que la suma de $\sum f(\frac{1}{n \ln n})$ se comporta como la suma de $\sum \frac{1}{n \ln n}$, y por lo tanto diverge.

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[Gracias a Jack D'Aurizio por señalar un error y, a continuación, a Hetebrij para indicar cómo corregir ese error]