No todos los excesos en la categoría es cocomplete

Question

Algo está mal entre mí y Hirschhorn: el punto 3 de este resultado (en el libro Modelo de categorías y sus localizaciones):

7.6.4. Homotopy en undercategories y overcategories.

Teorema de 7.6.5. Deje $\mathcal{M}$ ser un modelo de la categoría.

1. Si $A$ es un objeto de $\mathcal M$, entonces la categoría de $(A \downarrow \mathcal M)$ de los objetos de $\mathcal M$ a (véase la Definición 7.6.1) es un modelo de la categoría en la que un mapa es un débil equivalencia, fibration, o cofibration si es uno en $\mathcal M$.
2. Si $X$ es un objeto de $\mathcal M$, entonces la categoría de $(\mathcal M \downarrow X)$ de los objetos de $\mathcal M$ $X$ ( Definición 7.6.2) es un modelo de la categoría en la que un mapa es un débil equivalencia, fibration, o cofibration si es uno en $\mathcal M$.
3. Si $A$ $B$ son objetos en $\mathcal M$, entonces la categoría de $(A \downarrow \mathcal M \downarrow B)$ de los objetos de $\mathcal M$ bajo $A$ $B$ (véase la Definición 7.6.3) es un modelo de la categoría en la que un mapa es un débil equivalencia, fibration, o cofibration si es uno en $\mathcal M$.

Pʀᴏᴏғ. De esta manera se sigue directamente de las definiciones. ❑

parece ser falsa tomado como lo que es: o bien no he entendido algo, o $(A\downarrow \mathcal{M}\downarrow B)$ rara vez es cocomplete (lo que se debe a un objeto inicial?).

Es Hirschhorn mal? Qué quiere decir algo diferente de los resultados de los estados?

Answer 1

La categoría de $(A\downarrow \mathcal{M}\downarrow B)$ no es necesariamente un modelo de la categoría, ya que puede no ser completa o cocomplete (o ambos). Por ejemplo, $(\{*\} \downarrow \mathsf{Set} \downarrow \varnothing)$ no es un modelo de la categoría: está vacía! No hay un mapa de un singleton para el conjunto vacío.

Sin embargo, uno puede definir, para cada $f : A \to B$, la categoría: $$(A\downarrow \mathcal{M}\downarrow B)_f = \{ A \xrightarrow{g} X \xrightarrow{h} B \mid h \circ g = f \}$$ sobre los objetos sobre $B$ y en $A$ de manera tal que los morfismos componer a $f$. Entonces es claro que $$(A\downarrow \mathcal{M}\downarrow B) = \bigsqcup_{f \in \hom_\mathcal{M}(A,B)} (A\downarrow \mathcal{M}\downarrow B)_f$$ es un discontinuo de la unión de las categorías (de los diferentes componentes no interactúan en todo), y cada una de las $(A\downarrow \mathcal{M}\downarrow B)_f$ es un modelo de la categoría con la debilidad de equivalencias, fibrations y cofibrations como en Hirschhorn de definición (por ejemplo, el objeto inicial es $A \to A \xrightarrow{f} B$, la terminal de objeto es $A \xrightarrow{f} B \to B$).