Necesito demostrar que el determinante de una matriz es igual al determinante de su transposición. Este hecho es obviamente fácil de probar usando la definición del determinante, pero la pregunta estipula que la prueba debe ser por la reducción de la fila.
Nunca se me ocurriría hacerlo de esta manera. ¿Cómo se llega a la transposición mediante la reducción de filas? Siempre he cambiado las filas y las columnas. Cualquier consejo sería apreciado.
Fila-la reducción de la $A$ $R$se hace multiplicando $A$ por una secuencia de matrices elementales $E_i$: $$R = E_n E_{n-1}\ldots E_1 A$$ donde cada una de las $E_i$ es uno de los tres tipos de matrices elementales: fila de conmutación, la multiplicación de la fila, fila o de adición (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_row_operations).
A continuación, $R^T = A^T E_1^T \ldots E_n^T$ y \begin{align*} \det R &= \det E_1 \ldots \det E_n \det A\\ \det R^T = \det A^T \det E_1^T \ldots \det E_n^T &= \det E_1^T \ldots \det E_n^T \det A^T. \end{align*} Se puede deducir la relación entre el$\det R$$\det R^T$? ¿Qué acerca de la entre $\det E_i$$\det E_i^T$, para cada uno de los tres tipos de matrices elementales?
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