Soy consciente de la teoría de autovalores de matrices sobre campos. ¿Me preguntaba hasta qué punto se extiende esta teoría? ¿Tenemos una teoría correspondiente para matrices sobre dominios integrales, o al menos sobre UFDs? H.C.Lee comentarios aquí que no hay ninguna teoría de valor propio encima anillos de la general.
Respuesta
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Una generalización de la noción de autovalor se puede encontrar en el módulo de teoría. Piensa en un operador lineal $T : V \to V$ que actúa sobre un espacio vectorial $V$ como un módulo más de la polinomio anillo de $k[T]$, y, a continuación, un autovector $Tv = \lambda v$ abarca un simple submódulo de $V$. De manera más general, la generalización de la subespacio propio asociado a un autovalor $\lambda$ es un indecomposable submódulo de $V$. La declaración de que $T$ tiene una forma normal de Jordan es entonces subsumido bajo la teoría general de la finitely generada por los módulos a través de la directora ideal dominios.
Generalizando, se puede pensar en una $n \times n$ de la matriz a través de un anillo arbitrario $R$ que actúan sobre vectores columna de más de $R$ cuando se describe a un endomorfismo de $R^n$ como un derecho $R$-módulo. Esto le da a $R^n$ el adicional de la estructura de una izquierda $R[T]$-módulo, y se puede aplicar la general de las herramientas del módulo de la teoría para el estudio de este módulo. Por supuesto, si $R$ es complicado, a continuación, la correspondiente teoría va a ser complicado.
