ecuación funcional $f(f(x))=af(x)+bx$

Question

Que $0<a,b<\frac{1}{2}$.

Encontrar continua funciones $f$ % satisfactorio $f(f(x))=af(x)+bx$.

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Probé $f$ es monótono, pero pegado en este momento.

Cómo utilizar los límites de $a,b$, ¿por qué es importante tener $a,b\in(0,\frac{1}{2})$?

Answer 1

Suponga $f(x_1)=f(x_2)$. Entonces $$ bx_1=f(f(x_1))-af(x_1)=f(f(x_2))-af(x_2)=bx_2$$ y por lo tanto (como $b\ne 0$) $x_1=x_2$. Llegamos a la conclusión de que $f$ es inyectiva. Como $f$ es también continua, $f$ es estrictamente monótona. Thereefore $f\circ f$ es estrictamente creciente.

Suponga $L:=\lim_{x\to +\infty}f(x)$ existe. A continuación,$f(L)=\lim_{x\to+\infty}(af(x)+bx)=\infty$, contradicción. Del mismo modo, $\lim_{x\to -\infty}f(x)$ no puede existir. Llegamos a la conclusión de que $f$ es un continuo bijection $\Bbb R\to\Bbb R$.

Pick $x_0\in \Bbb R$ y definir de forma recursiva $x_{n+1}=f(x_n)$. A continuación, $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$ todos los $n$. Es bien sabido que la solutiosn de esta recursividad son de la forma $$x_n=\alpha \lambda_1^n+\beta\lambda_2^n, $$ donde $\lambda_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4b}}{2}$ son las soluciones de $X^2-aX-b=0$ $\alpha,\beta$ se encuentran resolviendo $x_0=\alpha+\beta$, $x_1=\alpha\lambda_1+\beta\lambda_2$. A partir de las restricciones dadas por $a,b$, nos encontramos con $-\lambda_1<\lambda_2<0<\lambda_1<1$. Esto implica que $x_n\to 0$, independiente de $x_0\in\Bbb R$. Por la continuidad, $f(0)=0$.

Suponga $x_n>0$$x_{n+2}\ge x_n$. Como $f\circ f$ es estrictamente creciente, esto implica que el subsequence $x_{n+2k}$ es no decreciente, contradiciendo la convergencia a $0$. Por lo tanto, $x_n>0$ implica $x_{n+2}<x_n$. Del mismo modo, $x_n<0$ implica $x_{n+2}>x_n$.

Como $f$ es bijective, podemos extender la secuencia de $x_n$$n\in\Bbb Z$.

• Si $\alpha\ne 0$, $\lambda_1^n$ términos es dominante para $n\gg 0$. En particular, todas las $x_n$ $n\gg 0$ tienen el mismo signo. De ello se desprende que las secuencias de $x_{2n}$ $x_{2n+1}$ son tanto la disminución o el aumento de la.

• Si $\beta\ne 0$,$\lambda_2^n$ plazo es dominante para $n\ll 0$. En particular, $x_n$ invierte los signos como $n\ll 0$. De ello se desprende que las secuencias de $x_{2n}$ $x_{2n+1}$ han opuesto a la monotonía.

Tanto estas observaciones, junto implica que $\alpha$ $\beta$ no puede ser distinto de cero. Por lo tanto, cualquiera de las $f(x)=\lambda_1x$ o $f(x)=\lambda_2 x$. Por la continuidad de $f$, un interruptor entre estas dos condiciones pueden ocurrir en $x=0$, pero, a continuación, $f$ no sería monótono. Llegamos a la conclusión de que no se produce el cambio, de modo que las únicas soluciones posibles son $$ f(x)=\lambda_1x\text{ for all }x\in\Bbb R$$ y $$ f(x)=\lambda_2x\text{ for all }x\in\Bbb R.$$

Answer 2

Considere la posibilidad de un punto de $\tilde{x}$ satisfacción $f(\tilde{x})=c\tilde{x}$. Tomamos nota de que esto puede ser cierto en cualquier punto de $\tilde{x}$ arbitrarias $c$, nos encontramos con \begin{equation} f(f(\tilde{x}))=f(c\tilde{x})=af(\tilde{x})+b\tilde{x}=(ac+b)\tilde{x}=(a+bc^{-1})(c\tilde{x}), \end{equation} lo que da un proceso iterativo de relación entre c y $\tilde{c}$ para la siguiente iteración. Definir el proceso iterativo de la función $\tilde{f}(c)=a+bc^{-1}$. Sobre la iteración de esta función, muchas veces, uno se acerca a uno de los puntos fijos, que son soluciones de la ecuación cuadrática $c^2-ac-b=0$, que se $\frac{a\pm\sqrt{a^2+4b}}{2}$. Por lo tanto, en la iteración arbitrariamente muchas veces, uno se acerca a un punto para que $f(\tilde{x})\approx c^*\tilde{x}$ donde $c^*$ es una de las soluciones de la ecuación cuadrática.

El proceso iterativo de la ecuación de $\tilde{f}$ tiene una inversa dada por $\tilde{f}^{-1}(y)=\frac{b}{y-a}$, con los mismos puntos fijos. Por lo tanto, recorrer hacia atrás o hacia delante desde cualquier punto, siempre que eventualmente llega a un punto donde $f(\tilde{x})\approx c^*\tilde{x}$. Por lo tanto, recorrer hacia adelante o hacia atrás, siempre se puede llegar a una asignación de contracción que los enfoques $x=0$. La elección de $x$ infinitesimalmente pequeña, se puede recorrer de vuelta, y por supuesto también debe acercarse a un similar $c^*$. Por lo tanto, la función debe ser homogénea de la forma $f(x)=c^*x$ para las soluciones de la ecuación cuadrática.

No sé si esto es completamente rigurosa, pero me resulta convincente, al menos.