Suma de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ .

Question

Intentaba encontrar la suma de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ .

Lo intenté así $S = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{2^n} - \frac{1}{2^n}) = 2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{2^n} - 1$

Así que.., $S = 2(S - \frac{1}{2}) - 1$

Implica $S =2$ .

EDITAR:

También de muchos puestos en el comentario de abajo he encontrado un método de ver la suma $\sum x^n$ y diferenciando y conectando por $x$ .

¿Existe algún otro método de ver el problema y calcular la suma aparte del método anterior,puede ser interesante ver diferentes aproximaciones al mismo problema que puedan servir para visualizar otros problemas basados en la suma de series?

Answer 1

Multiplicar por $(2-1)$ : $$ (2-1)\sum_{n=1}^\infty n2^{-n}=\sum_{n=1}^\infty(n2^{1-n}-n2^{-n})=\sum_{n=0}^\infty (n+1)2^{-n}-\sum_{n=1}^\infty n2^{-n}=\sum_{n=0}^\infty2 ^{-n}$$

Answer 2

Resumiendo $x^n$ da $\frac{1}{1-x}-1$ por lo que sumando $nx^{n-1}$ da $\frac{1}{(1-x)^2}$ . Establecer $x=1/2$ .

Answer 3

Pista: Utiliza la serie geométrica

$$\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n.$$

Esta serie es uniformemente convergente para $|u|\leq 1$ por lo que podemos diferenciarlo con respecto a $u$ en el que $|u|\leq 1$ .

$$-\frac{1}{(1-u)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{} u^{n-1} \implies -\frac{u}{(1-u)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{} u^{n} .$$

Relacione esta suma con su suma, en la que $u=1/2$ . Tenga en cuenta que su serie comienza en $n=2$ y esta serie empieza en $n=1$ .