Evaluar el producto infinito $\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{2}{(2n+1)^2}\right)$

Question

$$\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{2}{(2n+1)^2}\right)$$

He visto algunas preguntas similares. Pero éste es diferente de todos estos. No se aplica el producto de Euler. Uno simplemente no puede factorizar $\left(1-\frac{2}{(2n+1)^2}\right)$ ya que el $\sqrt{2}$ en la parte superior evitará términos de cancelación. ¡Cualquier ayuda será apreciada!

Nota: se espera solucionar el problema en 2 minutos.

Answer 1

Sugerencia. Uno puede recordar el producto infinito de Euler para la función coseno

$$\cos x =\prod_{n=0}^\infty \left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2\pi^2}\right),\qquad |x|<\frac \pi2.$$

Answer 2

Arce dice que esto es $$\sin(\pi (\sqrt{2}-1)/2)$ $ y en general $$ \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{t^2}{(2n+1)^2} \right) = \frac{\sin(\pi (1+t)/2)}{1-t^2} $ $

Answer 3

Teniendo en cuenta los productos parciales

$$A_p=\prod_{n=1}^{p} \left(1-\frac{2}{(2n+1)^2}\right)$$ a CAS producidas $$A_p=-\cos \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right) \frac{\Gamma \left(p-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(p+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{2}\right)}{\Gamma \left(p+\frac{3}{2}\right)^2}$$ and using Stirling approximetion for large $p$, this leads to $$\log\left(\frac{\Gamma \left(p-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(p+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{2}\right)}{\Gamma \left(p+\frac{3}{2}\right)^2} \right)=\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{p^2}\right)$$ then $$A_p =-\cos \left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2p}+O\left(\frac{1}{p^2}\right)\right)$$