Unitario de la evolución en el tiempo del operador $U(t)=e^{-iHt/\hbar}$ tiene algún sabor distinto de periodicidad a ella, porque de $e^{x+2\pi i}=e^x$.
Es esta periodicidad se refleja de alguna manera en los sistemas físicos? ¿Tiene algún significado físico?
(Disculpen una pregunta de novato. En caso de que esto es demasiado simple para este sitio, dime dónde emigrar.)
El operador, como usted dice, parece evocar la periodicidad, pero esto es en general ilusorio, aparte de cuando el sistema cuántico tiene una energía autoestados cuyas energías son racionales número de múltiplos uno de otro. El oscilador armónico cuántico es un ejemplo sencillo de esto, de hecho uno de los muy pocos ejemplos posibles cuando hablamos de countably de infinitas dimensiones (separable) estado cuántico de los espacios. Me discutir la naturaleza especial del oscilador armónico cuántico en mi respuesta aquí.
Como la notación correctamente implica, la variación del tiempo de cada energía eigenstate es el momento de armónicos de la función $\exp\left(-i\,\frac{E}{\hbar}\,t\right)$. Pero si hay dos o más de estas funciones propias presente, una superposición lineal de ellos sólo puede ser armónica si todas las energías son racionales número de múltiplos uno de otro. Para entender esta afirmación, creo que de los dos eigenstate superposición: $A\,exp(-i\alpha\,t) + B\,\exp(-i\beta\,t)$. Esto vuelve a su valor inicial, sólo si $exp(-i\alpha\,t) = \exp(-i\beta\,t) = 1$ que sólo puede ser así si $\beta\,t = 2 b \pi;\,\alpha\,t = 2 a \pi$$a,\,b\in\mathbb{N}$. De otra manera, $\alpha / \beta = a/b$, por lo que la relación debe ser racional.
Una maravillosa manera de ilustrar esto es pensar en el estado cuántico espacio como el toro: el producto Cartesiano de dos círculos. Las trayectorias a través del tiempo por una superposición de los dos autoestados son hélices que giran alrededor de el toro como un alambre en un inductor toroidal. Si las frecuencias propias son racionalmente relacionada, la trayectoria se encuentra con sí mismo y un periódico ciclo de la siguiente manera. Si no, el devanado del hilo alrededor del toro nunca vuelve a su punto inicial y, de hecho, la trayectoria es denso en el toro! Como la relación es menos "racional", es decir, $a/b$ en su forma estándar (con todas las cancelaciones se hace), se convierte en la proporción de más y más números, el período se convierte en más y más tiempo.
Ahora bien, si usted agregue a la mezcla de muchas frecuencias propias, todo lo cual puede ser irracionalmente relacionados, se puede ver que muy rápidamente la superposición va a ser muy complicado y todo semejanza de periodicidad desaparecerá, aparte de para casos especiales como el QHO.
Aunque unitarity es necesario para la conservación de la norma, de hecho hay una cierta periodicidad ingraved en su forma. Para invariante en el tiempo acotado de los sistemas (el Hamiltoniano no depende del tiempo y tiene una discreta, o al menos no densa número de autoestados) siempre hay un tiempo de recurrencia $\tau_r$ después de que el estado del sistema es de nuevo el estado inicial (o tan cerca como se puede medir). El más simple sistema cuántico que se puede imaginar, un sistema de dos niveles, se puede representar como un punto en la superficie de una esfera que se mueve con velocidad constante a lo largo de un círculo (para invariante en el tiempo Hamiltonianos). Es evidente que revisar el estado inicial de forma periódica. Los sistemas más complejos (pero limitado y invariante en el tiempo), descrito por n-nivel de Hamiltonianos también revisar el estado inicial tras más ricos de la dinámica. Usted puede buscar en google para obtener información bajo el nombre de renacimiento (y reactivación parcial) veces.
Si usted piensa detenidamente, no hay nada de sorprendente en ello. Fenómenos similares se encuentran también en la Física Clásica bajo el nombre de recurrencia de Poincaré tiempo. Los sistemas estables tienden a ser periódica o cuasi-periódica. Esto ha ayudado a su estudio y el nacimiento de la Física desde los primeros días. Sin embargo, como la complejidad del sistema aumenta, o en otras palabras, a medida que el número de estados propios que participan en la dinámica es mayor, por lo que será la recurrencia de tiempo, lo que eventualmente puede ser mayor que el tiempo relacionado con la inversa de la precisión de la Hamiltoniana autoestados, o en otras palabras, más grande que el tiempo dispuestos a seguir o medido con el sistema. De hecho, para la mayoría de los sistemas físicos de la recurrencia tiempo es claramente no físico. Esto se refleja también en el hecho de que cada vez más complejas, los sistemas se hace más difícil garantizar que son discretos y invariante en el tiempo, o cerrado o aislado.
Un buen ejemplo es el oscilador armónico, donde podemos ver que la periodicidad del operador solo corresponde a la periodicidad de la moción.
Para un oscilador armónico el hamiltoniano es
\begin{equation} \hat H = \frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{\mathbf x}^2. \end{equation} y la estacionaria soluciones pueden por ejemplo ser escrito $\left| n \right>$ con valores propios \begin{equation} E_n = \hbar \omega \left( \frac{1}{2} + n \right) . \end{equation} Veamos ahora el tiempo de evolución de, por ejemplo, el estado de $\left| 0 \right> = \left| n = 0 \right>$. En este caso tenemos \begin{equation} \left| \psi_0 (t) \right> = e^{i \hat H t / \hbar} \left| 0 \right> = e^{i \omega t / 2} \left| 0 \right> , \end{equation} donde vemos que la periodicidad de que el operador da lugar a un movimiento periódico de la oscilador (o, quizás más correctamente, la fase de la función de onda del oscilador).
La primera cosa que viene a la mente es el hecho de que la energía autoestados tener un periódico fase factor, $e^{iEt/\hbar}$. En general, se suele decir que los estados son definidos hasta una fase factor, por lo que para una partícula en una energía eigenstate podemos pasar por alto, pero esta fase factor puede manifestar físicamente cuando se tiene un estado que es una superposición de energía de los estados propios, cada uno con su propio oscilante fase. Un ejemplo sencillo de esto que, en realidad, los resultados en el comportamiento periódico sería un spin-$1/2$ de las partículas en un campo magnético. Dicho sistema tendrá un Hamiltoniano proporcional a la Pauli spin matriz $\sigma_z$. Así que nuestro tiempo-evolución operador es $U(t) = e^{i\omega \sigma_z t}$. Recordemos que las matrices de Pauli son idempotente, entonces cuando nos Taylor ampliar esta podemos agrupar nuestros términos juntos y nos vamos a encontrar
\begin{equation} U(t) = \cos\left(\omega t\right)+ i\sigma_z \sin\left(\omega t\right) \end{equation}
Para los autoestados de $\sigma_z$ esto no es particularmente interesante. El $\sigma_z$ nos dará solo un + $\vert \uparrow \rangle$ o de $\vert \downarrow \rangle$ y, por supuesto, el módulo de que el estado no va a cambiar, pero tendrá un tiempo de oscilación de la fase de factor. En lugar de eso vamos a pensar en una superposición de tales estados propios, como $\vert \psi \rangle \equiv\frac{1}{2}\left(\vert \uparrow \rangle + \vert \downarrow \rangle\right)$.
\begin{equation} \begin{split} U(t) \vert \psi \rangle = \frac{1}{2}\cos\left(\omega t\right)\vert \left(\vert \uparrow \rangle + \vert \downarrow \rangle\right) + \frac{i}{2} \sin\left(\omega t\right) \left(\vert \uparrow \rangle - \vert \downarrow \rangle\right) \\ = \frac{1}{2} e^{i\omega t} \vert \uparrow \rangle + \frac{1}{2} e^{-i \omega t} \vert \downarrow \rangle \end{split} \end{equation}
No por cierto, este estado fue elegido tener una tirada de $+\hbar/2$ a lo largo de la $x$ dirección, pero lo podemos ver en la ecuación anterior que cuando nos evolucionar en el tiempo llegamos a un punto donde tendrá spin $-\hbar/2$ a lo largo de la $x$ dirección, al$\cos(\omega t) = 0$$\sin(\omega t) = 1$, por lo que la expectativa de valor de la $x$ tirada de esta partícula es periódica.
Debido a que el operador Hamiltoniano es Hermitian por supuesto, puede ser diagonalized y el operador exponencial puede ser reescrito como un manejable serie de Taylor, pero esta bonita forma periódica sólo funciona porque la plaza de nuestro Hamiltoniano es proporcional a la matriz identidad, por lo que podríamos agrupar términos en la expansión de Taylor para darnos un coseno multiplicado por la identidad y la condición sine multiplicado por el $\sigma_z$ operador. En general, este procedimiento no funciona tan bien, pero siempre se puede pensar acerca de la interferencia de la fase de factores que he mencionado en el primer párrafo.
Usted probablemente encontrará que está conectado a los fotones que podría excitar, similar a la del efecto fotoeléctrico.
Pero en lo principal, la solución a un problema particular es una ecuación de onda, así como una partícula. En el caso de los microscopios de electrones, los electrones se comportan como ondas, basado en un plazo $\exp(imc^2/hf)$, lo que nos permite ver muy pequeño detalle.
En esencia, por lo que he leído en google, que está conectado a la ecuación de Schrödinger. Esta es la ola-el modelo de una partícula atrapada en un potencial bien, tal como un electrón o lo que sea.
Una de las referencias que he encontrado conecta el operador de tiempo con la vuelta. Pero el $H$ operador es una clase de matemáticas a la bestia que está más allá de ken.
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