Encontrar las soluciones a $\left\lfloor\left(\frac{5}{3} \right)^n\right\rfloor = 3^m$

Question

Encontrar todos los enteros positivos soluciones a $\left\lfloor\left(\dfrac{5}{3} \right)^n\right\rfloor = 3^m$.

Deje de $a_n = \left\lfloor\left(\dfrac{5}{3} \right)^n\right\rfloor$. Then $$a_n = 1,2,4,7,12,21,35,59,99,165,275,459,765,1276,2126,3544,5907,9846,16410,\ldots.$$ Since a power of $3$ is odd, we only need to look at the odd terms of $a_n$: let these be $b_n$. Then $b_n = 1,7,21,35,59,99,165,275,459,765,5907,\ldots$. There don't seem to be powers of $3$ with a positive exponent in $b_n$ en los primeros términos.

Usando el Teorema del Binomio, tenemos $$\left(\dfrac{5}{3} \right)^n = \left(1+\dfrac{2}{3}\right)^n = 1+\dfrac{2}{3} \binom{n}{1}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \binom{n}{2}+\cdots+\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\binom{n}{n}.$$ ¿Cómo podemos seguir desde aquí?

Answer 1

Si escribimos $$ \left(\frac{5}{3}\right)^n = \left[ \left(\frac{5}{3} \right)^n \right] + \left\{ \left(\frac{5}{3}\right)^n \right\}, $$ a continuación, suponiendo que $$ \left[ \left(\frac{5}{3} \right)^n \right]=3^m $$ implica la desigualdad $$ 0 < 5^n - 3^{n+m} < 3^n. $$ La aplicación de los límites inferiores para lineal de las formas en (dos complejos) de los logaritmos (digamos de Laurent-Mignotte-Nesterenko) $$ \Lambda = n \log 5 - (n+m) \log 3 $$ conduce, después de un poquito de trabajo, a la conclusión de que $n \leq 1$.

No estoy seguro de si hay un modo elemental para probar esto. No puedo ver la parte superior de mi cabeza.

Answer 2

Parece ser que la única solución en enteros no negativos es $(n,m)=(1,0)$. Trato de explicar por qué creo esto.

Tenemos $$\left(\frac53\right)^{\dfrac{m}{\log_35-1}}=3^m$$ therefore for $0\lt x\lt 1$

$$\left\lfloor\left(\frac53\right)^{\dfrac{m}{\log_35-1}}+x\right\rfloor=3^m$$ Con el fin de tener una solución de $(n,m)$ es necesario que la ecuación $$\left(\frac53\right)^{\dfrac{m}{\log_35-1}}+x=\left(\frac53\right)^n$$ have integer solutions for some $x\in (0,1)$ En otras palabras, tenemos que tener $$\left(\frac53\right)^n-\left(\frac53\right)^{m\alpha}\in (0,1)$$ where $\alpha\approx2.150660103087123508854$.

La figura 1 muestra en color marrón de la región donde $$0\lt\left(\frac53\right)^n-\left(\frac53\right)^{m\alpha}\lt1$$ Podemos ver que más del entero $n$ aumenta, la longitud de la $d_n$ de que el intervalo de posibilidades para $m$ ser también entero, se reduce más y más.

Por ejemplo, para $$n=1\text{ one has } 0\le m\le0.45\lt1\text { so } d_1\approx0.45\\n=2\text{ one has } 0.52\lt m\le0.92\lt1\text { so } d_2\approx0.40\\n=3\text{ one has } 1.17\lt m\le1.38\lt2\text { so } d_3\approx0.21\\n=4\text{ one has } 1.72\le m\le1.85\lt2\text { so } d_4\approx0.13\\$$ and so on, for example for $n=10$ calculation gives $4.6445\lt m\lt4.6497\lt5$ giving $d_{10}\approx0.0052$ and it is verified that $d_n\to 0$ rápidamente.

La conclusión es que, si existe una solución, que tiende a ser un punto en la curva de la figura 2, es decir, es una muy aproximado entero solución de la ecuación de diophantine $$\left(\frac53\right)^n-\left(\frac53\right)^{m\alpha}=1$$

no puede ser una solución exacta, porque en ese caso tendríamos $$\left\lfloor\left(\frac53\right)^n\right\rfloor=3^m+1$$ APÉNDICE PARA LA DIVERSIÓN.-Al $f(x)=\left\lfloor(\frac53)^x\right\rfloor$ uno tiene $f(2.338)=3\\f(4.675)=3^2\\f(7.013)=3^3\\f(9.3499)=3^4\\f(11.688)=3^5\\f(14.025)=3^6\\f(16.363)=3^7\\f(18.6999)=3^8\\f(21.0371)=3^{10}$.