¿un polinomio convexo siempre alcanza su valor mínimo?

Question

Considere la posibilidad de un convexo polinomio $p$ tal que $p(x_1,~x_2,\dots x_n)\geq 0~\forall x_1,~x_2,\dots x_n\in \mathbb{R}^n$. ¿El polinomio alcanzar su valor mínimo?

Esto no es cierto para los no-convexo polinomios como $(1-x_1x_2)^2+x_1^2$, véase la respuesta de J. P. McCarthy en una pregunta similar, en general polinomios. Esto no es cierto para funciones generales. La función $e^x$ es infinitamente diferenciable, convexo y acotado desde abajo, pero no es $x$ que alcanza el valor mínimo de 0 (gracias a zhw para este sencillo ejemplo).

Answer 1

La restricción de $p$ a cualquier línea recta es un polinomio en una variable que está acotada por debajo, por lo tanto es constante o va a $\infty$ en ambas direcciones. Si hay una línea de $L$ que $p$ es constante, entonces el uso de la convexidad es fácil ver que $p$ debe ser constante en todas las líneas paralelas a $L$, y tomando una sección transversal de reducir la dimensión de $1$. Así, podemos asumir wlog no hay ninguna línea en la cual se $p$ es constante.

Ahora considere el $A = \{x \in \mathbb R^n: p(x) < C\}$ donde $C > p(0)$.
Este es un conjunto convexo. La restricción de $p$ a cualquier rayo a través de $0$ es un polinomio no constante en una variable y acotada por debajo, por lo tanto va a $+\infty$ en ambas direcciones. Por lo tanto $A$ no contiene rayos a través de $0$. Para cada una de las $s$ en la unidad de la esfera de $\mathbb S^{n-1}$, hay algunos $t > 0$ tal que $p(ts) > C$ y por la continuidad de este sostiene (con el mismo $t$) en algún barrio de $s$. Tenga en cuenta que por convexidad, $p(t' s) > C$ todos los $t' > t$. El uso de compacidad, llegamos a la conclusión de que $A$ está acotada. Y, a continuación, el infimum de $p$ es el infimum de $p$ en el conjunto compacto $\overline{A}$, la cual se alcanza.

EDIT: Como se pide, voy a ampliar sobre "el uso de la compacidad". Para cada una de las $s \in \mathbb S^{n-1}$, $t > 0$ tal que $p(ts) > C$. Así, el abierto de los conjuntos de $\{s \in \mathbb S^{n-1}: p(t s) > C\}$ $t > 0$ forma abierta cubriendo de $\mathbb S^{n-1}$. Debido a $\mathbb S^{n-1}$ es compacto, este tiene un número finito de subcovering, es decir, $t_1, \ldots, t_k$ tal que para cada a $s \in \mathbb S^{n-1}$, algunos $p(t_j s) > C$. Pero que dice $p(x) > C$ todos los $x$$\|x\| \ge \max(t_1, \ldots, t_k)$, es decir, $\|x\| < \max(t_1, \ldots, t_k)$ todos los $x \in A$.