Cualquier subgrupo de un Grupo abeliano es sin distorsión.

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema de matemáticas. Estoy estudiando algunas notas en teoría geométrica del grupo y me encontré con el siguiente problema.

Probar:

Cualquier subgrupo de un Grupo abeliano es sin distorsión.

Un subgrupo $H$ de un grupo $G$ se dice que no deformado si el mapa de la inclusión de $H$ $G$ es un cuasi-isométricas de la incrustación. Es que pensar $G$ y $H$ como siendo identificado su único hasta gráficos de Cayley de cuasi-isomorfismo.

Answer 1

Aquí está una expansión de Derek Holt comentario, con el agregado de detalles acerca de cómo lidiar con varios finito índice de problemas que surgen a lo largo del camino. Voy a utilizar su terminología "falseada", aunque el más estándar de la terminología es "cuasi-isometría" y "cuasi-isométrica incrustar".

El grupo $G$ tiene un índice finito libre abelian subgrupo que voy a denotar $A$.

La inclusión de mapas de $i_1 : A \to G$ $i_2 : A \cap H \to H$ son tanto sin distorsión. También, hay mapas sin distorsión $j_1 : G \to A$, $j_2 : H \to A \cap H$ que, por $m=1,2$ los dos mapas de $i_m,j_m$ son gruesas inversos, lo que significa que $i_m \circ j_m$ mueve cada elemento del grupo por un uniformemente acotada cantidad, como lo hace la $j_m \circ i_m$. Estas declaraciones sostener, en general, para cualquier finito índice subgrupo de cualquier finitely generado grupo.

Si podemos demostrar que la inclusión $i_3 : A \cap H \to A$ es sin distorsión, entonces se sigue que el compuesto mapa $$H \xrightarrow{j_2} \cap H \xrightarrow{i_3} \xrightarrow{i_1} G $$ es sin distorsión y, a continuación, vamos a hacer porque esta compuesto mapa difiere de la inclusión $H \to G$ por uniformemente acotada cantidad.

Así, mediante la sustitución de $G$$A$$H$$A \cap H$, el problema se ha reducido para el caso de que $G \approx \mathbb{Z}^n$ es gratis abelian de algunas rango $n \ge 1$. El subgrupo $H$ es gratis abelian de algunas rango $k$$0 \le k \le n$. En este caso, usted puede probar el uso de álgebra lineal que existe $v_1,…,v_n \in \mathbb{Z}^n$ que forman una base de más de $\mathbb{Z}$, y existen constantes enteras $a_1,\ldots,a_k \ge 1$, de tal manera que $H$ base $a_1 v_1, …, a_k v_k$. Por lo que la inclusión $H \to G$ es una composición de dos falseamiento de los mapas: la inclusión de mapas en $\mathbb{Z}^n$ del espacio generado por los vectores $a_1 e_1,…,a_k e_k$; y el cambio de base de un mapa de la norma de base $e_1,…,e_n$ a la base $v_1,…,v_k$.