Demostrar que $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\int_0^x f(t) dt = f(0)$ .

Question

Supongamos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua. Demostrar que $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\int_0^x f(t) dt = f(0)$ .

Tengo una pequeña confusión para probar esto. Hasta ahora, está claro que $f$ es continua en 0 y $f$ es integrable de Riemann. Así que con ese conocimiento, estoy tratando de usar la definición de continuidad. Así que $|\frac{1}{x}\int_0^x f(t) dt - f(0)|=|\frac{1}{x}(f(x)-f(0))-f(0)|$ . A partir de aquí, no sé a dónde ir. Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

$\def\e{\varepsilon}\def\abs#1{\left|#1\right|}$ Como $f$ es continua en $0$ , para $\e > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que $\abs{f(x) - f(0)} \le \e$ para $\abs x \le \delta$ . Para estos $x$ tenemos \begin{align*} \abs{\frac 1x \int_0^x f(t)\, dt - f(0)} &= \abs{\frac 1x \int_0^x \bigl(f(t) - f(0)\bigr)\,dt}\\ &\le \frac 1x \int_0^x \abs{f(t) - f(0)}\, dt\\ &\le \frac 1x \int_0^x \e\,dt\\ &= \e \end{align*} Así que $\abs{f(0) - \frac 1x \int_0^x f(t)\,dt} \le \e$ para $\abs x \le \delta$ como se desea.

Answer 2

Demostramos que como $x$ se acerca a $0$ de la a la derecha nuestra expresión se aproxima a $f(0)$ . Un argumento similar se refiere al límite de la izquierda. Los dos argumentos pueden incluso combinarse, a costa de la inteligibilidad.

Para $x\gt 0$ , dejemos que $M_x$ sea el máximo de $f(t)$ en el intervalo $0\le t\le x$ y que $m_x$ sea el mínimo de $f(t)$ en este intervalo. Por propiedades básicas de la integral de Riemann, tenemos $$xm_x \le \int_0^x f(t)\,dt \le xM_x,$$ o de forma equivalente $$m_x\le \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt \le M_x.$$ Ahora dejemos que $x\to 0$ . Como $x$ se acerca a $0$ , ambos $m_x$ y $M_x$ acercarse a $f(0)$ y, por lo tanto, al apretar también lo hace $\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt$ .

Answer 3

Como $\,f\,$ es continua, obtenemos que

$$\int_0^xf(t)\,dt=F(x)-F(0)\;\;,\;\;\text{with}\,\,\,F'(x)=f(x)\,\,(\text{a primitive of}\,\,f\,)\Longrightarrow$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\,dt=\lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x}=F'(0)=f(0)$$

Por supuesto, esto es justo lo que Stefan transmitió en su comentario.