cocientes de variedades proyectivas lisas por grupos

Question

Sé que hay una gran cantidad de literatura sobre cómo construir los cocientes de grupos, pero mi situación es bastante particular, por lo que les agradecería si me pudieran dar algunos consejos o referencias bibliográficas.

Estoy interesado en la siguiente pregunta: vamos a $X$ ser una variedad algebraica definida sobre incorporado un campo de número de $k \hookrightarrow \mathbb{C}$. Suponga que $X$ es suave y proyectiva y la que viene con la acción de un grupo finito $G$. A continuación, el cociente $X/G$ existe.

$\textbf{First}$ : ¿cuál es la mejor referencia para aprender la construcción?

$\textbf{Second}$ : ¿cuáles son los (esquema teórico) de las propiedades de la "proyección" $\pi: X \to Y$?

Por ejemplo, es cierto que la imagen directa de la constante gavilla

$\pi_\ast \mathbb{C}_X$

en $X(\mathbb{C})$ es un sistema local en un cierto subconjunto abierto $U \subset Y$ excluyendo las singularidades de $Y$?

Es cierto que la imagen directa por $\pi$ regular de una singular conexión todavía está regular singular?

Gracias por su ayuda !

Answer 1

Desde $G$ es finito y $X$ es proyectiva, usted puede comprobar fácilmente que cualquier punto que se ha abierto afín n.h. que es preservado por la $G$-acción. Por lo tanto $X$ puede ser cubierto por la apertura de los cuñados de la compatibilidad con el $G$-acción, decir $X = $ unión de la $U$s.

A continuación, para calcular los $X/G$, por el contrario, podemos calcular los diferentes $U/G$, y luego pegar estos juntos.

Si $U = $ Espec $A$, $G$- acción en $U$ es equivalente a un $G$-acción en $A$, e $U/G = $ Espec $A^G$. (Usted puede tomar esto como una definición, pero también se puede comprobar que hace sentido intuitivo.)

Los morfismos $X \to X/G$ es un número finito de morfismos, y la respuesta a su gavilla de la teoría de las preguntas serán las mismas que para cualquier finito de morfismos. (No creo que finito morfismos derivada como un cociente de esta manera, son particularmente especial.)

Por ejemplo, si $G$ actos fielmente en $X$ (lo que puede suponer el WLOG), entonces no va a ser un subconjunto $V$ $X$ que $G$ actúa libremente, y $V \to V/G$ será etale. El pushforward de la constante de gavilla en virtud de un número finito de etale de morfismos es de hecho un sistema local, y por lo $\pi_*\mathbb C$ será un sistema local cuando se limita a $V/G$.