Ecuaciones para el interior de los sólidos platónicos

Question

Es bien sabido que para los sólidos platónicos:

• El interior del cubo o hexaedro puede describirse con desigualdad $\max\{|x|,|y|,|z|\}<a$.
• El interior del octaedro es $|x|+|y|+|z|<a$.

Pero, ¿cuáles son esas ecuaciones para el tetraedro, el icosaedro y el dodecaedro?

Dudo que las ecuaciones son elegantes.

Answer 1

Sus ecuaciones son el uso de "max" y "valor absoluto" para comprimir de manera efectiva muchas desigualdades en uno.

Por ejemplo, el octaedro desigualdad de dar podría ser ampliado a 8 de las desigualdades como $-x + y + -z < a$. Cuatro de los ocho tener un número de negaciones y cuatro tiene un número impar de negaciones - cada uno de estos grupos de cuatro, se define a un tetraedro. Sí, un octohedron es la intersección de dos tetraedros.

En general, podemos ver sus desigualdades de la forma $$\vec{v}\cdot\vec{x} < 1$$ donde $\vec{x}$ es $(x,y,z)$, e $\vec{v}$ es un miembro de un conjunto específico $V$ de los vectores correspondientes a las caras del objeto.

Por ejemplo, para el cubo, $V$ es todo cíclico permutaciones de $(1,0,0)$$(-1,0,0)$.

Para el octaedro, $V$ es el ocho vectores $(±1,±1,±1)$.

Para el tetraedro, $V$ es todo cíclico permutaciones de $(1,-1,-1)$$(1,1,1)$.

Para el dodecaedro, $V$ es todo cíclico permutaciones de $(0,±1,±\phi)$ donde $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ es la proporción áurea.

Para el icosohedron, $V$ es todo cíclico permutaciones de $(±1,±1,±1)$$(0,±\phi^{-1},±\phi)$.

Lo que estas ecuaciones son realmente está haciendo es expresar una relación entre un sólido platónico y un estándar de 3 dimensiones del sistema de coordenadas de las mediciones a lo largo de 3 ejes ortogonales. Esto funciona bien cuando el grupo de simetrías de los fósforos y el objeto se alinea con los ejes, y menos en los demás casos.