Dominio, codominio y rango

Question

Esta pregunta no se asocia típicamente con el nivel de matemáticas del que voy a hablar, pero la hago porque también estoy haciendo una clase de matemáticas aparte donde estos términos son relevante. Sólo quiero asegurarme de que los entiendo, porque creo que puedo acabar equivocándome en las respuestas si le doy demasiadas vueltas a las cosas.

En mi clase de cálculo de primer nivel, ahora estamos hablando de valores críticos y funciones monótonas. En un ejemplo, el profesor nos mostró cómo encontrar los valores críticos de una función $$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$$ Dijo que tenemos que encontrar los valores donde $f' (x)=0$ y donde $f'(x)$ es indefinido. $$f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$$

Claramente, $f'(x)$ es indefinido en $x=1$ pero dice que $x=1$ no está en el dominio de $f(x)$ Por lo tanto $x=1$ no es un valor crítico. Aquí es donde viene mi pregunta:

¿No es el "dominio" de $f(x)$ $\mathbb{R}$ o $(-\infty,\infty)$ ? Si mi entendimiento de Dominio, Codominio y Rango es correcto, entonces no sería el "rango" el que excluye $x=1$ ?

Answer 1

Si $f:X\to Y$ es una función de $X$ a $Y$ , solemos llamar a $X$ el dominio, $Y$ el codominio, y $f(X)$ la gama. Algunos autores denominan $Y$ la gama, en cuyo caso $f(X)$ se llama la imagen.

Answer 2

En sentido estricto, una función es un subconjunto $f$ de $(\hbox{domain}) \times (\hbox{codomain})$ de manera que si $(a, b), (a, c) \in f$ entonces $b = c$ . Es decir, la especificación del dominio y el codominio forman parte de la definición de una función. Pero esto suele considerarse demasiado técnico para un curso de cálculo, que es de lo que hablaba el cartel original, así que...

... en el típico curso de cálculo (americano), se consideran funciones de valor real definidas en un subconjunto de los reales, donde una "función" viene dada por una ecuación como " $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ '', como en el post original. Entonces la convención es que "dominio" significa "el mayor subconjunto de los reales en el que la expresión en la ecuación definitoria está definida", a menos que haya una declaración en contrario. (He oído hablar de esto como el "dominio natural".) Así, para este $f$ el dominio (natural) según esta convención es $\{x \mid x \ne 1\}$ . Y así $x = 1$ no es un punto crítico, ya que no está en el "dominio".

Si por alguna razón quiero un subconjunto más pequeño, debo decirlo explícitamente. Por ejemplo, podría decir "la función $f(x) = x^2$ definido en $[0, \infty)$ ".

Así, en los libros de texto (de cálculo, precálculo, álgebra universitaria) se ven preguntas como "¿Cuál es el dominio de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ?" Según la definición estricta de una función, la pregunta no tiene sentido, ya que no se ha definido la función a menos que se haya indicado cuál es el dominio por adelantado. Pero según la convención descrita anteriormente, el dominio son los reales no nulos.

Answer 3

$x=1$ no está en el dominio porque cuando $x=1$ , $f(x)$ es indefinido. Y por definición, estrictamente hablando, una función definida en un dominio $X$ mapas cada elemento en el dominio a un único elemento en el codominio.

El dominio y el codominio de una función dependen del conjunto sobre el que $f$ y el conjunto al que se están mapeando los elementos del dominio; ambos se suelen explicitar incluyendo la notación $f: X \to Y$ por ejemplo, junto con la definición de $f(x)$ para $x\in X$ .

$X$ se toma entonces como el dominio de $f$ y $Y$ el codominio de $f$ Aunque verás que algunas personas intercambian los términos "codominio" y "rango". Así que "rango" es un poco ambiguo, dependiendo del texto utilizado y de cómo se defina, porque "rango" se define a veces como el conjunto de todos los valores $y$ de tal manera que haya algún $x \in X$ para lo cual es cierto que $f(x) = y$ es decir $f[X]$ .

Una forma de evitar cualquier ambigüedad relacionada con el uso de "rango" para referirse a $f[X]$ es observar que muchos prefieren definir $f[X]$ para ser la "imagen" de $X$ en $f$ , a menudo denotado por $\text{Im}f(x)$ con el entendimiento de que $f[X] = \text{Im}f(x) \subseteq Y.\;\; f[X]=\text{Im}f(x) = Y$ cuando $f$ está en $Y$ .