Me preguntaba si alguien puede arrojar luz adecuada sobre esta cuestión. He leído ambos y parece que son algo similares, sin embargo no consigo verlo del todo.
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146
Quizás valga la pena recordar que en su Introducción a la filosofía matemática Russell escribe
Cuando me encontré por primera vez con esta contradicción [en la idea de que hay un cardenal mayor], en el año 1901, intenté descubrir algún fallo en la prueba de Cantor de que no existe el mayor cardenal... Aplicando esta a la supuesta clase de todos los objetos imaginables, me llevó a una nueva y más simple contradicción, a saber, la siguiente: -
La clase integral que estamos considerando, que es abarcar todo, debe abarcarse a sí misma como uno de sus miembros. En otras palabras, si existe algo como "todo", entonces "todo" es algo, y es un miembro de la clase "todo". Pero normalmente un clase no es un miembro de sí misma. La humanidad, por ejemplo, no es un hombre. Forma ahora el conjunto de todas las clases que no son miembros de de sí mismas. Esta es una clase: ¿es miembro de sí misma o no? Si lo es Si lo es, es una de esas clases que no son miembros de sí mismas, es decir, no es miembro de sí misma. Si no lo es, no es una de esas clases de esas clases que no son miembros de sí mismas, es decir, es un miembro de sí mismo. Por lo tanto, de las dos hipótesis -que es, y que no es miembro de sí mismo- cada una implica su contradictoria. Esto es una contradicción.
Así que sí, Russell dio con su paradoja al analizar lo que ocurre en la prueba de Cantor aplicada al caso límite de un (supuesto) conjunto universal. Efectivamente, existe esa estrecha relación entre los argumentos.
Oli
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89
La conexión no es del todo a través de la conocida prueba de que los reales no son equinuméricos con los números naturales. Es a través de la prueba de Cantor de que el conjunto de potencias de un conjunto $A$ no puede ponerse en correspondencia uno a uno con $A$ .
Esa prueba comienza de la siguiente manera. Supongamos que existe una biyección $\varphi$ entre $A$ y el conjunto de poderes de $A$ . Consideremos el subconjunto $X$ de $A$ que se compone de todos los $a$ tal que $a\not\in \varphi(a)$ . No es difícil demostrar que no puede haber una $x\in A$ tal que $\varphi(x)=X$ .
La descripción del conjunto $X$ recuerda mucho a la construcción de la Paradoja de Russell.
El argumento anterior también suele llamarse argumento diagonal. Podemos ver la conexión dejando que $A$ sean los números naturales. Entonces el conjunto de potencias de $A$ puede identificarse con el conjunto de todas las secuencias infinitas de $0$ y/o $1$ 's. Para cualquier conjunto $S$ de los números naturales puede identificarse con su función característica $f_S$ definido por $f_S(s)=1$ si $s\in S$ y $f_S(s)=0$ si $s\not\in S$ . De hecho, los subconjuntos pueden identificarse con funciones características en general.
Supongamos que $\varphi$ es una biyección entre $\mathbb{N}$ y el conjunto de todas esas secuencias. A continuación, consideremos la secuencia $x_1,x_2,x_3,\dots$ tal que $x_i=0$ si $\varphi(i)(i)=1$ y $x_i=1$ si $\varphi(i)(i)=0$ . Esto es esencialmente lo mismo que el conjunto $X$ descrito anteriormente. Más concretamente, es la función característica de $X$ . Esta versión del argumento tiene una conexión mucho más clara con el conocido argumento diagonal. Se puede generalizar a conjuntos arbitrarios.
