Una pregunta general sobre la conjetura de Collatz y encontrar que número entero que ' trabajo de t

Question

Pido disculpas si esta pregunta se pone de votación antes de tiempo.

He estado trabajando en la Conjetura de Collatz todo el día con Python, ya que es el idioma que estoy más familiarizado con el (yo no soy un CS estudiante, de la licenciatura en matemáticas). A continuación, la función es el que estoy usando para su referencia durante mis comentarios:

\begin{align} T\left(n\right)&=\begin{cases}1 & \text{if}\;n=1\\ T\left(\frac{n}{2}\right) & \text{if}\;n\;\text{is even}\\ T\left(3n+1\right) & \text{if}\;n\;\text{is odd}\end{casos}\etiqueta{1} \end{align}

He creado gráficos con el número de iteraciones vs los números enteros de hasta el $10^7$, uno de los cuales he mostrado a continuación para los números enteros hasta el $2\cdot 10^6$:

He leído en Wolfram Mathworld que la conjetura ha sido probado a través de los equipos para números de hasta el $\approx 5.48\cdot 10^{18}$, que es bastante impresionante, aunque yo estaba pensando de antemano que habría sido probado por este tiempo increíblemente grandes enteros dado que hemos tenido equipos para >50 años.

Ahora a mi simple pregunta: ¿sería cierto que, dado un entero que en realidad no existen, que no cumple la conjetura, la más pequeña de este número debe ser impar, porque si es que aún debe existir un pequeños número entero que no cumple la conjetura?

Además, supongamos que encontramos un número entero. En mis escritos me he dado cuenta de que todos los números enteros dentro de las secuencias generadas por esta función eventualmente se descomponen a una repetición de una secuencia anterior. Por ejemplo, las dos siguientes secuencias:

$\color{red}{7}$-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1

14-$\color{red}{7}$

Estos son simples, pero aún más largas secuencias de números que he encontrado romper antes de secuencias que ya han sido calculados, y debe, si vamos a terminar en $1$ menos que sea la definición de una nueva secuencia a ser llamado por uno más (me pregunto cuál es la frecuencia de este). Pero si nos encontramos con un número, y es impar, entonces todos los otros números que figuran dentro de esta secuencia no debe también satisfacer la conjetura. Pero ¿es esto cierto? O soy yo el pensamiento de "no satisfactorio" la conjetura en el camino equivocado?

Gracias por su tiempo,

Answer 1

Sí, tienes razón: Si hay algún contraejemplo, entonces el más pequeño contraejemplo debe ser impar. Y todos los sucesores y predecesores de un contraejemplo de las mismas son contraejemplos.

Hay dos concebible tipos de contraejemplo.

La primera es de un número finito de secuencia cíclica que es diferente de la trivial 1-4-2-1 ciclo. Encontrar un contraejemplo sería inmediatamente producir una refutación de la hipótesis.

El segundo es un punto de partida desde el que la secuencia continúa indefinidamente sin tocar un ciclo. Acaba de llegar a través de un punto de no directamente el rendimiento de una refutación de la conjetura, porque uno tendría que demostrar que la secuencia no , de hecho nunca unirse a un ciclo, y no se conoce ninguna forma sistemática de findig tal prueba.

Answer 2

Estás en lo correcto, en tanto sus puntos. Supongamos que la conjetura es falsa.

Si $N$ es un contraejemplo y $M$ es un elemento de la secuencia generada por $N$, $M$ es un contraejemplo, ya que si la secuencia generada por $M$ terminó a $1$, entonces también la secuencia generada por $N$ termina en $1$.

Por la misma razón, la mínima contraejemplo tiene que ser impar, porque si $N$ es incluso un contraejemplo, a continuación, $N/2$ es un contraejemplo así, ya que es el primer término generado por la secuencia que comienza con $N$.