Cómo demostrar que $B$ es nilpotente.

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sean matrices complejas con $AB^2-B^2A=B$ Demostrar que $B$ es nilpotente.

Por cierto:Este problema es de $American Mathematical Monthly Problema 10339,y esta solución post 1996 American Mathematical Monthly página 907

Mi pregunta, ¿Este problema tiene otros métodos agradables? Gracias.

Answer 1

Multiplica ambos lados por $B^{n-1}$ a la derecha por lo que la condición dada es que $B^n = AB^{n+1} - B^2 A B^{n-1}.$ La traza de un producto es invariante bajo permutaciones cíclicas de los factores, por lo que la traza del lado derecho es cero. La traza de $B^n$ es cero para todos los $n\geq 1$ así que $B$ es nilpotente.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $B$ ya está en su forma normal de Jordania. Partición $A$ según la estructura de bloques de Jordan de $B$ . Denote el $(i,j)$ -submatriz de $A$ por $A_{ij}$ y de forma similar para los subbloques de $B$ . Ahora la condición dada implica que $A_{ii}B_{ii}^2-B_{ii}^2A_{ii}=B_{ii}$ . Como el LHS no tiene trazos, el bloque de Jordan en el RHS debe ser nilpotente. Por tanto, todos los bloques de Jordan de $B$ son nilpotentes y $B$ también es nilpotente.