Poder exterior de un producto del tensor

Question

Da 2% de paquetes del vector $E$y $F$ $r_1, r_2$ de filas, podemos definir $k$'th energía exterior $\wedge^k (E \otimes F)$.

¿Hay alguna manera sencilla esto descomponerse en productos del tensor de varias potencias exteriores de paquetes individuales?

Estoy interesado en el caso cuando $F$ corresponde a la línea retorcida haces $\mathcal{O}(k)$.

Answer 1

Si $E$ $F$ son arbitrarias, de la descomposición de la $\bigwedge^k(E\otimes F)$ en términos de $\bigwedge^i E$ $\bigwedge^j F$ $i,j\leqslant k$ es bastante sutil, y consiste en la $\lambda$-anillos (de hecho, es una fuente de inspiración para ellos). Ver esta entrada de blog para obtener más detalles. Esencialmente, una mirada a la acción del producto $S_k\times S_k$ de los grupos simétricos en el polinomio anillo de $\mathbb Z[X_,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_k]$. La teoría de los polinomios simétricos nos dice que para la primaria simétrica polinomios $E_1,\dots,E_k$ $X_i$ $F_1,\dots,F_k$ d $Y_i$, uno tiene $$ \mathbb Z[X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_k]^{S_k\times S_k} = \mathbb Z[E_1,\dots,E_k,F_1,\dots,F_k] \text{.} $$ Desde el poder formal de la serie
$$ \prod_{i,j\geqslant 1} (1+X_i Y_jT) $$ es invariante bajo permutaciones de las $X_i$$Y_j$, tenemos $$ \prod_{i,j\geqslant 1} (1+X_i Y_jT) = \sum_{k\geqslant 0} P_k(E_1,\dots,E_k,F_1,\dots,F_k) T^k \text{.} $$ Resulta que $$ \estilo de texto\bigwedge^k(E\otimes F) = P_k(E,\estilo de texto\bigwedge^2 E,\ldots,\estilo de texto\bigwedge^k E, F, \estilo de texto\bigwedge^2 F,\ldots,\estilo de texto\bigwedge^k F) $$ donde interpretamos $V+W$$V\oplus W$$V\cdot W$$V\otimes W$.

Todo esto como un marco natural en el $K$-teoría. Brevemente, si $X$ es un espacio anillado, el grupo $K_0(X)$ es el libre abelian grupo generado por el local libre de poleas en $X$, el modulo de la relación $[\mathscr E]+[\mathscr F]=[\mathscr G]$ cada vez que hay una secuencia exacta $$ 0 \a \mathscr E \a \mathscr G \a \mathscr F \a 0 $$ La operación $[\mathscr E]\cdot [\mathscr F]=[\mathscr E\otimes \mathscr F]$ da $K_0(X)$ la estructura de un anillo conmutativo. Mejor aún, $K_0(X)$ $\lambda$-ring, con las operaciones de $\lambda^k:K_0(X) \to K_0(X)$ inducida por $\lambda^k[\mathscr E] = [\bigwedge^k \mathscr E]$. El $\lambda$estructura de anillo en $K_0(X)$ características prominantly en el Grothendieck-Riemann-Roch teorema, un gran alcance a la generalización de la costumbre de Riemann-Roch teorema de la línea de paquetes compactos conectado superficies de Riemann.